ลิมิตของฟังก์ชันที่มีลอการิทึมครับ

[James007]

พิจารณาฟังก์ชัน
$$f(x) = \frac{1}{2} x^2 \ln \frac{x}{x-2} -x$$
1. จงพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $(2, \infty)$
2. จงแสดงว่า
$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$$ และ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$$

รบกวนผู้รู้ด้วยนะครับ
อยากทราบว่ามีวิธีที่ใช้แค่ความรู้ระดับม.ปลายหรือไม่ (ถ้าไม่มีก็ไม่เป็นไรครับ)
ขอบคุณครับ

[~ArT_Ty~]

โอ ยากแหะ ผู้รู้ช่วยแนะนำหน่อยครับ

[nooonuii]

ถ้าไม่ให้หาอนุพันธ์ก็คงยากมากเลยล่ะครับ

[James007]

ถ้าใช้อนุพันธ์ได้นะครับ ผมพอจะคิดออกส่วนหนึ่งดังนี้ครับ
(ผมคิดว่า อนุพันธ์มีอยู่ในเนื้อหาม.ปลายครับ น่าจะใช้ได้ )

ช่วยตรวจดูว่าผมทำและเขียนถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์หรือเปล่า หรือมีส่วนใดควรแก้ไขบ้างครับ

ข้อ 2. ก่อนนะครับ
2.1 $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$
พิจารณา
$$\begin{array}{rcl}
\lim_{x \to 2^+} f(x) & = & \frac{1}{2}\left(\lim_{x \to 2^+} x^2\right) \left(\lim_{x \to 2^+} \ln \left( \frac{x}{x-2} \right) \right) - \lim_{x \to 2^+} x \\
& = & 2 \lim_{x \to 2^+} \ln \left( \frac{x}{x-2} \right) - 2\\
& = & +\infty
\end{array}$$

2.2 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$
(ข้อนี้ Wolfram|Alpha ช่วยได้ครับ แต่วิธีมันยาวไปหน่อย วิธีที่ผมตัดให้สั้นลงนี้ถูกต้องหรือไม่ครับ
http://www.wolframalpha.com/input/?i...x-%3E+%2Binfty ถ้า $0.5$ เปลี่ยนเป็น $1/2$ จะ Show steps ไม่ได้ครับ )
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x \left[ \frac{1}{2}x \ln \left( \frac{x}{x-2} \right) -1 \right]
$$
ให้ $t=\frac{1}{x}$ จะได้ว่า
$$\begin{array}{rcl}
\lim_{x \to +\infty} f(x) & = & \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t} \left[ \frac{1}{2t} \ln \left( \frac{1}{t(1/t-2)} \right) -1 \right] \\
& = & \lim_{t \to 0^+} \dfrac{\ln \left( \frac{1}{1-2t} \right) -2t}{2t^2} \\
& = & \lim_{t \to 0^+} \dfrac{-(1-2t)(1-2t)^{-2}(-2)-2}{4t} \\
& = & \lim_{t \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{1-2t}-1}{2t} \\
& = & \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{1-2t} = 1
\end{array}$$

------------
ส่วนข้อ 1. นั้น จากที่หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ได้เป็น
$$f'(x)=x \ln \left( \frac{x}{x-2} \right)-\frac{2x-2}{x-2}$$
จะพิสูจน์ว่า $f'(x)<0$ ในช่วง $x \in (2,\infty)$ อย่างไรดีครับ

ขอบคุณมาก ๆ ครับ

[gon]

ตามเนื้อหา ม.ปลาย คำตอบของลิมิตที่ตอบว่าเป็น $\pm \infty$ นั้นไม่มีในหลักสูตรครับ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมก็ไม่มีเช่นกันครับ.

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ตามเนื้อหา ม.ปลาย คำตอบของลิมิตที่ตอบว่าเป็น $\pm \infty$ นั้นไม่มีในหลักสูตรครับ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมก็ไม่มีเช่นกันครับ.

อ่อ ขอบคุณครับ
งั้นตัดเงื่อนไขความรู้ระดับม.ปลายไป อยากทราบวิธีคิดยังไงก็ได้ครับ
ขอบคุณครับ