โจทย์ข้อที่สาม

โจทย์ข้อสามนี้เป็นเรื่องอนุกรม(อีกแล้ว)
กำหนดให้ S เป็นผลบวกของอนุกรม 1/(n^2+n+1) ตั้งแต่ n=1 ถึง infinity
ให้หาผลบวกของอนุกรม 1/(n^4+n^2+1) ตั้งแต่ n=1 ถึง infinity ในเทอมของ S
ข้อนี้อาจจะต้องใช้ concept อย่างนึงที่ได้เรียนใน Calculus ปี 1 ด้วยนะ (ถ้าหากทำแบบเดียวกับผม)

หมายเหตุ สำหรับผู้ที่สนใจ จริงๆแล้ว S มีค่าเท่ากับ
pi/sqrt(3)*tanh(sqrt(3)*pi/2) - 1 = 0.79814...

ในเมื่อไม่มีใครยอมตอบก็จะใบ้ล่ะนะ คำใบ้คือ ลองใช้ partial fraction ดูสิครับ

โดย partial fraction จะได้
1/(n^4+n^2+1) = (1/2)[(n+1)/(n^2+n+1) - (n-1)/(n^2-n+1)]
จัดรูปเป็น
1/(n^4+n^2+1) = (1/2)[(n+1)/(n^2+n+1) - n/(n^2-n+1) + 1/(n^2-n+1)]
แยกพิจารณาเป็น 2 ส่วน
1) A = ผลบวกของ (n+1)/(n^2+n+1) - n/(n^2-n+1)
2) B = ผลบวกของ 1/(n^2-n+1)
จะได้ ผลบวกของ 1/(n^4+n^2+1) = (1/2)(A + B)

ส่วนแรก
เพราะ (n+1)/(n^2+n+1) = (n+1)/[(n+1)^2-(n+1)+1]
จะได้ (n+1)/(n^2+n+1) - n/(n^2-n+1)
= (n+1)/[(n+1)^2-(n+1)+1] - n/(n^2-n+1)
ผลบวกของ (n+1)/[(n+1)^2-(n+1)+1] - n/(n^2-n+1) ตั้งแต่ n=1 ถึง n เป็น (n+1)/[(n+1)^2-(n+1)+1] - 1
เมื่อ n เข้าสู่ infinity จะได้ A = 0 - 1 = -1

ส่วนหลัง
เนื่องจาก 1/(n^2+n+1) = 1/[(n+1)^2-(n+1)+1]
จะได้ S (โจทย์กำหนด) คือ ผลบวกของ 1/[(n+1)^2-(n+1)+1] ตั้งแต่ n=1 ถึง infinity
หรือ S คือ ผลบวกของ 1/(n^2-n+1) ตั้งแต่ n=2 ถึง infinity
จะได้ B = 1 + S

ดังนั้น ผลบวกของ 1/(n^4+n^2+1)
= (1/2)(A + B)
= (1/2)(-1 + 1 + S)
= S/2

คุณ Muggle ตอบได้ถูกต้องสมบูรณ์แบบมากครับ เอ...คุณ
Muggle นี่ทำโจทย์ของผมไปได้สองข้อแล้วสิเนี่ย เป็นโจทย์
เกี่ยวกับอนุกรมทั้งสองข้อซะด้วย ทำคะแนนนำโด่งเลยนะครับ

สำหรับคนที่สนใจค่าของอนุกรม Sum(1/(n^2+n+1)) ให้พิจารณาฟังก์ชัน
f(z) = Pi tan(Pi z) / (z^2 + 3/4)
จะเห็นว่ามี simple pole ที่ z = n + 1/2 จาก tan(Pi z) และ z = +-sqrt[3]i / 2 จาก z^2 + 3/4
integrate รอบจะได้ 0 = sum{1/[(n+1/2)^2 + 3/4] - 2 Pi tanh(Pi sqrt[3]/2)/sqrt[3] = 0
นั่นคือ S = Pi tanh(Pi sqrt[3]/2) / sqrt[3] - 1 (ตัดตัว 0 แล้วเอาครึ่งบวก)