พหุนามยากครับ

[jenwit]

กำหนด $a+b=3$, $ax+by=10$,$ax^2+by^2=16$ และ $ax^3+by^3=36$ จงหาค่าของ $ax^4+by^4$ เป็นเท่าใด

[กิตติ]

$axy+by^2=10y$
$ax^2+bxy=10x$
$ax^2+by^2+(a+b)xy=10(x+y)$
$16=10(x+y)-3xy$...........(1)

$ax^3+bxy^2=16x$
$ax^2y+by^3=16y$
$ax^3+by^3+xy(ax+by)=16(x+y)$
$16(x+y)-10xy=36$...........(2)

$ax^4+bxy^3=36x$
$ax^3y+by^4=36y$
$ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=36(x+y)$
$ax^4+by^4=36(x+y)-16xy$
(1)คูณด้วยสองบวกกับ(2) จะได้ $36(x+y)-16xy=32+36=68$

[polsk133]

คารวะ10จอกครับ

[กิตติ]

คุ้นๆว่ามีคนเคยถาม ผมจำได้ว่าทำประมาณนี้ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$axy+by^2=10y$
$ax^2+bxy=10x$
$ax^2+by^2+(a+b)xy=10(x+y)$
$16=7(x+y)$<-------- งงตรงนี้อ่ะครับ

$ax^3+bxy^2=16x$
$ax^2y+by^3=16y$
$ax^3+by^3+xy(ax+by)=16(x+y)$
$36+10xy=\frac{16^2}{7} $

$ax^4+bxy^3=36x$
$ax^3y+by^4=36y$
$ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=36(x+y)$
$ax^4+by^4=36(x+y)-16xy$
$=\frac{36\times 16}{7}-\frac{16}{10}(\frac{16^2}{7}-36) $

มันมายังไงเหรอครับ

[กิตติ]

รีบทำแล้วคิดผิด แก้แล้วครับคุณpoper

[poper]

ขอบคุณมากครับ คิดได้พอดีเลย
แต่ของคุณหมอกิตติง่ายกว่าที่ผมทำเยอะเลยครับ

[Euler-Fermat]

$ax^2+by^2 = (x+y)(ax+by)-xy(a+b)$
$= 10(x+y)-3xy .......(1)$
$ax^3+by^3 = (x+y)(ax^2+by^2)-xy(ax+by)$
$ =16(x+y)-10xy.......(2)$
$ax^4+by^4 = (x+y)(ax^3+by^3)-xy(ax^2+by^2)$
$ = 36(x+y)-16xy...........(3)$
สังเกตได้ว่า $(3) = 2*(1) + (2)$
$ax^4+by^4 = 2(ax^2+by^2)+(ax^3+by^3) =32+36 =68 $

[banker]

ถ้าสนใจโจทย์แนวนี้ ลองดูอีกข้อครับ

[banker]

โจทย์สวยๆอีกข้อ (ยังไม่ได้ทำ)ถ้าใครสนใจก็ลองดูครับ

$ax + by + cz = 3$

$ax^2 + by^2 + cz^2 = 4$

$ax^3 + by^3 + cz^3 = 7$

$ax^4 + by^4 + cz^4 = 8$

$ax^5 + by^5 + cz^5 = 13$

$ax^6 + by^6 + cz^6 = 17$


แล้ว $ \ ax^7 + by^7 + cz^7 \ $ มีค่าเท่าใด

[กิตติ]

$(ax^2+by^2)(x+y)=7(x+y)$
$ax^3+by^3+xy(ax+by)=7(x+y)$
$16+3xy=7(x+y)$
$16=7(x+y)-3xy$.........(1)

$(ax^3+by^3)(x+y)=16(x+y)$
$ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=16(x+y)$
$42+7xy=16(x+y)$
$42=16(x+y)-7xy$...........(2)

$(ax^4+by^4)(x+y)=42(x+y)$
$ax^5+by^5+xy(ax^3+by^3)=42(x+y)$
$ax^5+by^5=42(x+y)-16xy$

(1)คูณด้วย 6 $96=42(x+y)-18xy$
$42(x+y)-16xy=96+2xy$
(1)คูณด้วย 16 $16^2=16\times 7(x+y)-48xy$.......(3)
(2)คูณด้วย 7 $6\times 7^2=16\times 7(x+y)-49xy$.........(4)
(3)-(4) $16^2-6\times 7^2=xy$
$2xy=2(16^2-6\times 7^2)$
$=2(256-294)=-76$
$ax^5+by^5=42(x+y)-16xy=96-76=20$........ผิดตรงบรรทัดท้าย

คำตอบที่ถูกคือ $ax^5+by^5=42(x+y)-16xy=96-(-76)=172$

[banker]

แถมอีกข้อ ง่ายๆ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมทำแบบนี้ไม่รู้ว่าถูกไหมครับ
ให้ $ax^{n}+by^{n}=s_n$
เอา x คูณตลอด ได้ $ax^{n+1}+bxy^{n}=xs_n...(1)$
เอา y คูณตลอด ได้ $ax^{n}y+by^{n+1}=ys_n...(2)$
(1)+(2) และจัดรูปได้
$ax^{n+1}+by^{n+1}=(x+y)s_n-(xy)(ax^{n-1}+by^{n-1})$
หรือ $(x+y)s_n-(xy)s_{n-1}=s_{n+1}$
ถ้า $n=1$ ได้ $(x+y)s_1-(xy)s_{0}=s_{2}$
ได้ $10(x+y)-6(xy)=24$
ถ้า $n=2$ ได้ $(x+y)s_2-(xy)s_{1}=s_{3}$
ได้ $24(x+y)-10(xy)=62$
แก้ระบบสมการได้ $x+y=3 ,xy=1$
ดังนั้น $s_4=(x+y)s_3-(xy)s_2=3(62)-1(24)=162 $

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

โจทย์สวยๆอีกข้อ (ยังไม่ได้ทำ)ถ้าใครสนใจก็ลองดูครับ

$ax + by + cz = 3$

$ax^2 + by^2 + cz^2 = 4$

$ax^3 + by^3 + cz^3 = 7$

$ax^4 + by^4 + cz^4 = 8$

$ax^5 + by^5 + cz^5 = 13$

$ax^6 + by^6 + cz^6 = 17$


แล้ว $ \ ax^7 + by^7 + cz^7 \ $ มีค่าเท่าใด

ทำเมื่อคืนนี้เล่นเอาหน้าจะมืด คำตอบเป็นตัวเลขไม่ค่อยสวยเลย
จาก $(ax^6 + by^6 + cz^6)(x+y+z) = 17(x+y+z)$
$ax^7 + by^7 + cz^7 +ax^6y+ax^6z+ bxy^6 + by^6z+cxz^6+cyz^6= 17(x+y+z)$
$ax^6y+ax^6z+ bxy^6 + by^6z+cxz^6+cyz^6=(ax^5 + by^5 + cz^5)(xy+yz+xz)-xyz(ax^4 + by^4 + cz^4)$
$=13(xy+yz+xz)-8xyz$
ดังนั้น $ax^7 + by^7 + cz^7=17(x+y+z)-13(xy+yz+xz)+8xyz$

เราทำแบบนี้กับสมการที่เหลือ จะได้ว่า
$7(x+y+z)-4(xy+yz+xz)+3xyz=8$...........(1)
$8(x+y+z)-7(xy+yz+xz)+4xyz=13$...........(2)
$13(x+y+z)-8(xy+yz+xz)+7xyz=17$...........(3)
(1)+(2) $15(x+y+z)-11(xy+yz+xz)+7xyz=21$.....(4)
(4)-(3) $2(x+y+z)-3(xy+yz+xz)=4$.........(5)
เดี๋ยวมาเขียนต่อ
(2)-(1) $(x+y+z)-3(xy+yz+xz)+xyz=5$..........(6)
(5)-(6) $(x+y+z)=xyz-1$..........(7)
(3)-(2) $5(x+y+z)-(xy+yz+xz)+3xyz=4$..........(8)
แทน (7) ใน (8) $xy+yz+xz=8xyz-9$..........(9)
แทน (7),(9) ใน (1) $7xyz-7-32xyz+36+3xyz=8$
$22xyz=21\rightarrow xyz=\frac{21}{22} $
$17(x+y+z)-13(xy+yz+xz)+8xyz=25+(xy+yz+xz)+xyz$
$=25+(8xyz-9)+xyz$
$=16+9xyz$
$=16+9\left(\,\frac{21}{22}\right) $
$ax^7 + by^7 + cz^7=\frac{541}{22}$

ไม่รู้ว่าจะคิดผิดตรงไหน....ตาลาย

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมได้วิธีนี้ครับ
หาความสัมพันธ์แบบ vieta formula
จะได้ว่า$s_n=(x+y+z)s_{n-1}-(xy+yz+xz)s_{n-2}+(xyz)s_{n-3}$
ได้
$s_4=(x+y+z)s_{3}-(xy+yz+xz)s_{2}+(xyz)s_{1}$หรือ $7(x+y+z)-4(xy+yz+xz)+3(xyz)=8...(1)$
$s_5=(x+y+z)s_{4}-(xy+yz+xz)s_{3}+(xyz)s_{2}$หรือ $8(x+y+z)-7(xy+yz+xz)+4(xyz)=13...(2)$
$s_6=(x+y+z)s_{5}-(xy+yz+xz)s_{4}+(xyz)s_{3}$หรือ $13(x+y+z)-8(xy+yz+xz)+7(xyz)=17...(3)$
แก้ระบบสมการได้ $x+y+z=\frac{-1}{22} ,xy+yz+xz=\frac{-15}{11},xyz=\frac{21}{22}$
ดังนั้น
$s_7=(x+y+z)s_{6}-(xy+yz+xz)s_{5}+(xyz)s_{4}$หรือ
$s_7=(\frac{-1}{22})(17)-(\frac{-15}{11})(13)+(\frac{21}{22})(8)=\frac{541}{22} $