Proofs Involving Sets

[PURE MATH]

ช่วยคิดหน่อยนะครับ พอดีเทอมนี้เรียนพิสูจน์ ผมยังไม่ค่อยคล่องเท่าไรไม่รู้ว่าจะ สมมติอะไร ให้อะไร
$$1. A\subseteq B ก็ต่อเมื่อ A\cup B = B$$
$$2. ถ้า A\subseteq B และ A\subseteq C แล้ว A\subseteq B\cap C$$
$$3. ถ้า A\subseteq B และ C\subseteq D แล้ว A\cap C \subseteq B\cap D และ A\cup C \subseteq B\cup D$$
$$4. A\subseteq B ก็ต่อเมื่อ A^c \cup B = U$$
$$5.ถ้า C\cup B = U และ A\cap C = \phi แล้ว A\subseteq B$$

[PURE MATH]

$$6. A-B\subseteq C ก็ต่อเมือ A-C\subseteq B$$
$$7. ถ้า A\cup B\subseteq C แล้ว A\subseteq C และ B\subseteq C$$
$$8. ถ้า A\cup B\subseteq A\cup C แล้ว B\subseteq C$$
$$9. ถ้า A\cup B\subseteq C\cup D แล้ว A\subseteq C และ B\subseteq D$$
$$10. ถ้า (A\cup B)^c \subseteq A^c \cup B^c แล้ว A\subseteq B$$
$$11. ถ้า C-B\subseteq C-A แล้ว A\subseteq B$$
$$12. A\cap C\subseteq C-B และ A\cap B\subseteq C ก็ต่อเมื่อ A\cap B=\phi $$
$$13. ถ้า A\cup B=C และ A\cap B=\phi แล้ว B=C-A$$
$$14. สำหรับเซต A และ B ใดๆ , A\cap B=\phi ก็ต่อเมื่อ A-B=A$$
$$15. สำหรับเซต A B และ C ใดๆ , A-B\subseteq C ก็ต่อเมื่อ A-C\subseteq B$$
$$16. สำหรับเซต A และ B ใดๆ , A\cup B= U แล้ว A = B^c$$

ข้อ 17 - 18 เป็นการพิสูจน์ที่ผมยังไม่มี idea เลยอ่ะครับ ช่วยผมหน่อยนะครับ
$$17. ให้ a\in \mathbb{Z} จะได้ว่า 13|a และ 5| a ก็ต่อเมื่อ 65|a$$
$$18. ถ้า a เป็นจำนวนนับที่ 2 และ 3 หาร a ไม่ลงตัว แล้ว 24|(a^2 - 1)$$


ช่วยผมหน่อยนะครับ ผมไม่รู้จะเริ่มยังไงจริงๆๆๆๆๆ จะสอบมิดเทอมแล้ว

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

17. ให้ $a\in \mathbb{Z}$ จะได้ว่า $13|a$ และ $5| a$ ก็ต่อเมื่อ $65|a$
18. ถ้า $a$ เป็นจำนวนนับที่ $2$ และ $3$ หาร $a$ ไม่ลงตัว แล้ว $24|(a^2 - 1)$

16 ข้อแรกเล่นกับตรรกศาสตร์และนิยามล้วนๆเลยครับ

มีสองอย่างที่ต้องรู้คือ

1. จะพิสูจน์ $A\subseteq B$ ต้องสมมติให้ $x\in A$ แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่า $x\in B$

2. จะพิสูจน์ $A=B$ ต้องพิสูจน์ว่า $A\subseteq B$ และ $B\subseteq A$

17. ขากลับง่าย ส่วนขาไปก็ประมาณนี้

สมมติ $5\mid a$ และ $13\mid a$

จะได้ $a=5m$ และ $a=13n$ สำหรับบาง $m,n\in\mathbb{Z}$

ดังนั้น $26a=130m$ และ $25a=325n$

จึงได้ $a=130m-325n=65(2m-5n)$

18. สมมติ $2\not\mid a$ และ $3\not\mid a$ จึงได้ว่า $a$ จะต้องอยู่ในรูป

$12a+1,12a+5,12a+7,12a+11$ ที่เหลือก็ง่ายแล้ว

[PURE MATH]

ขอบคุณครับ สำหรับข้อ 17 - 18 เข้าใจแล้วครับ นั่งทดตั้งนาน 555
แต่ปัญหาผมคือไม่รู้จะสมมติอะไร ให้อ่ะไรนะ ครับ 16 ข้อแรกอ่ะครับ >< งง อยู๋ยังไม่ค่อยคล่องเลยครับ ช่วยทำให้ดูได้มั้ยครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ ผมยังขาดประสบการณ์อยู่ ผมอ่านตัวอย่างเข้าใจแต่พอลองทำเองมมันยัง งง อยู่อ่าครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

17. ให้ $a\in \mathbb{Z}$ จะได้ว่า $13|a$ และ $5| a$ ก็ต่อเมื่อ $65|a$

18. ถ้า a เป็นจำนวนนับที่ 2 และ 3 หาร a ไม่ลงตัว แล้ว $24|(a^2 - 1)$

ข้อ 17. กับ 18. ผมลองคิดแบบนี้ครับ

ข้อ 17.
จาก $a = 13m$ และ $a = 5n$ แล้วจะได้ $13m = 5n$ และจะเห็นว่า ห.ร.ม.ของ (13, 5) = 1

ดังนั้นสมการ $13m = 5n$ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $m = 5p$ และ $n = 13p$ สำหรับจำนวนเต็ม p บางจำนวน


นั่นคือ $a = 13m = 13(5p) = 65p \Rightarrow 65 | a$

ข้อ 18. จะได้ $a = 6n+1$ หรือ $a = 6n+5$

ถ้า $a = 6n+1$ แล้ว $a^2 - 1 = 36n^2 + 12n = 12n(3n+1)$ ซึ่งหารด้วย 12 ลงตัวแน่นอน

และจะเห็นว่า ถ้า n เป็นจำนวนคู่แล้ว 12n จะหารด้วย 24 ลงตัว

แต่ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว 3n+1 จะเป็นจำนวนคู่ ทำให้ 3n+1 ก็จะหารด้วย 2 ลงตัว แสดงว่า 12n(3n+1) หารด้วย 24 ลงตัว

สำหรับอีกกรณีก็คิดเหมือนกัน

[PURE MATH]

-ขอบคุณครับสำหรับแนวคิดดีๆที่คุณ gon แนะนำมา ผมอยากจะให้ช่วยอธิบายเรื่องการเขียนพิสูจน์เซตหน่อยอ่ะครับ ตอนผมเรียนมาวันนี้ก็เข้าใจนะครับ พอมานั่งเขียนพิสูจน์เองเริ่มจะไปไม่เป็น ช่วยผมหน่อยนะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

$$1. A\subseteq B ก็ต่อเมื่อ A\cup B = B$$

ตัวอย่างนะครับ. (ข้อความสีน้ำเงิน เป็นคำรำพึงหรือแนวคิดในใจ ให้อ่านในใจครับ.)

การพิสูจน์ขาไป สมมติให้ $A \subseteq B$ จะแสดงว่า $A \cup B = B$

(การจะพิสูจน์ว่า $A \cup B = B$ ก็ต้องแสดงให้ได้ว่า $A \cup B \subseteq B$ และ $B \subseteq A \cup B$)

จะแสดงว่า $A \cup B \subseteq B$ ก่อน ดังนี้


ให้ $x \in A \cup B$ ดังนั้นโดยนิยามของยูเนียน จะได้ว่า $x \in A$ หรือ $x \in B$

และเนื่องจากเราสมมติให้ $A \subseteq B $ แสดงว่า $x \in B$

นั่นคือเราได้แสดงว่าแล้ว "ถ้า $x \in A \cup B$ แล้ว $x \in B$"

จึงสรุปได้ว่า $A \cup B \subseteq B ... (1)$

ต่อไปจะแสดงว่า $B \subseteq A \cup B$ (ซึ่งไม่ต้องแสดง)

และเป็นจริงอยู่แล้วโดยนิยามว่า $B \subseteq A \cup B ... (2)$

หรือถ้าจะพิสูจน์ ก็ใช้นิยามเขียนอีก 1 บรรทัด

จาก (1) และ (2) สรุปได้ว่า $A \cup B = B$

====================================

การพิสูจน์ขากลับ สมมติให้ $A \cup B = B$ จะแสดงว่า $ A \subseteq B$

ให้ $x \in A$ แล้วจะได้ว่า $x \in A \cup B$ แต่เนื่องจากเราสมมติให้ $A \cup B = B$

แสดงว่าจะได้ $x \in B$

นั่นก็คือ เราได้แสดงแล้วว่า "ถ้า $x \in A$ แล้ว $x \in B$ " จึงสรุปโดยนิยามได้ว่า $A \subseteq B$

=======================
จากขาไปและขากลับ จึงสรุปได้ว่า $$1. A\subseteq B ก็ต่อเมื่อ A\cup B = B$$

[Pattern&Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ให้ $x \in A \cup B$ ดังนั้นโดยนิยามของยูเนียน จะได้ว่า $A \in B$ หรือ $x \in B$

จะได้ว่า $x \in A$ หรือ $x \in B$ หรือเปล่าอ่ะครับ