Sets

[PURE MATH]

ช่วยผมหน่อยนะครับ

$$1. กำหนดให้ A , B , C และ D เป็นเซตใดๆ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า A\cap C = \varnothing และ B\cup C = U และ B\cap D = \varnothing แล้ว A\cap D = \varnothing $$
$$จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ พร้อมทั้งพิสูจน์คำตอบ
\forall A\forall B\forall C\forall D, D\subseteq B \Rightarrow (A-B)\cup (C-B) \subseteq (A\cup C)\cap D^c$$
$$3. กำหนดให้ A , B และ C เป็นเซตใดๆ ถ้า A\cap C \subseteq C - B และ A\cap B \subseteq C แล้ว A\cap B = \varnothing $$

ใครพอมีโจทย์และแนวทางในการพิสูจน์ power set บ้างช่วยแนะนำหน่อยนะครับ

[nooonuii]

ผมยึดหลักไว้สองอย่างในการพิสูจน์เกี่ยวกับเซตคือ

1. พิสูจน์ว่า $A\subseteq B$ จะต้องสมมติว่า $a\in A$ แล้วทำให้ได้ว่า $a\in B$

2. พิสูจน์ $A=B$ ต้องพิสูจน์ว่า $A\subseteq B$ และ $B\subseteq A$

ที่เหลือพลิกแพลงไปตามสถานการณ์ อ้อการเข้าใจนิยามอย่างถูกต้องจะช่วยได้เยอะครับ

ลองดูข้อ 1 ก็ได้

แน่นอนว่า $\emptyset\subseteq A\cap D$

สมมติว่า $A\cap D\neq\emptyset$

จะได้ว่ามี $a\in A\cap D$

เนื่องจาก $B\cap D=\emptyset$ จะได้ว่า $a\not\in B$

แต่ $a\in U=B\cup C$ จึงได้ว่า $a\in C$

นั่นคือ $a\in A\cap C$ ซึ่งขัดแย้งเพราะ $A\cap C=\emptyset$

[PURE MATH]

เข้าใจแล้วครับ. แสดงว่าที่คุณ nooonuii ทำขาไปใช้ contrapositive ใช่มั้ยครับ. 😄