ช่วยพิสูจน์อสมการนี้หน่อยครับ

[Poogunexe]

ช่วยหน่อยนะครับ ตอนนี้ผมตีบตันมากเลยครับ ใครมีเทคนิคอะไรรบกวนช่วยหน่อยครับ อาจารย์ที่ศูนย์ผมแนะว่าใช้ Cauchy น่ะครับ ผมนั่งมองมาสองวันแล้วยังมองไม่ออกน่ะครับ โจทย์เขาบอกว่า
จงพิสูจน์ว่า $\frac{a}{\sqrt{b+c}}$+$\frac{b}{\sqrt{a+c}}$+$\frac{c}{\sqrt{a+b}}$ $\geqslant$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cdot$ $\left(\,a+b+c\right)$ เมื่อ $a+b+c+abc=4$
ขอบคุณล่วงหน้านะครับ

[จูกัดเหลียง]

$$\Big(\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\Big)^2\Big(\sum_{cyc} a(b+c)\Big)\ge \Big(\sum_{cyc} a\Big)^3$$
เเล้ว พยายามพิสูจน์ว่า $a+b+c\ge ab+bc+ca$ ครับ
ถ้าจะ Cauchy ต้อง Engel form เลยครับ ได้ว่า $$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}\ge
\frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{b+c}}$$
ทีนี้ก็พิจารณา Cauchy ว่า $\sum a\sqrt{b+c}=\sum\sqrt{a(b+c)}\sqrt{a}\le \sqrt{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}$ ก็จะคล้ายๆกับข้างบนเเหละครับ

[Poogunexe]

ตอนนี้ผมงงมากว่าเขาจะให้สมบัติ $a+b+c+abc=4$ มาทำไมอะครับ ตอนนี้ผมจัดรูปได้จนเหลือแต่ต้องพิสูจน์ว่า $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$ น่ะครับ จะใช้ก้อนแรกมาช่วยคิดยังไงครับ

[จูกัดเหลียง]

ลองสมมุติว่า $ab+bc+ca>a+b+c$ ครับ จาก Schur's +เงื่อนไข ได้ว่า $$9(4-(a+b+c))\ge (a+b+c)(4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2)>(a+b+c)^2(4-(a+b+c))$$
ซึ่งตัด $4-(a+b+c)=abc>0$ ได้ครับ จึงได้ว่า $(a+b+c)^2<9\rightarrow a+b+c<3$ ซึ่งขัดเเย้งเพราะว่า $a+b+c+abc=4\ge 4\sqrt[4]{(abc)^2}\rightarrow abc\le 1\rightarrow a+b+c\ge 3$

[Form]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe

เหลือแต่ต้องพิสูจน์ว่า $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$ น่ะครับ

มอง Cauchy ทีเดียวเลยก็ได้ครับ
$ ab+bc+ca \leqslant \sqrt{(a+b+c)(b+c+a)} = a+b+c $

[จูกัดเหลียง]

ไม่ได้นะครับ เพราะมันจะเป็น $a^2+b^2+c^2$

[Form]

เออเนาะ 555+
ไม่ได้ใช้นานละมันลืมครับ ขอโทษที 555+

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

อีกข้อแล้วกันครับ
ยกของคุณEuler fermatมาครับ
พิสูจน์$\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-b^3}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-c^3}} \geqslant \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-abc}}$ สำหรับทุก $0 < a,b,c < 1$

[จูกัดเหลียง]

ผมว่าที่ถูกควรเป็น $$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{1-abc}}$$
Let $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-x^3}}$ so $f$ is convex on $(0,1)$

Proof

$f''(x)=x^2(4x^2(1-x^3)^{-7/3})+2x(1-x^3)^{-4/3}>0$

and $\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-abc}}\le \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-\Big(\dfrac{a+b+c}{3}}\Big)^3}$ which complete by Jensen's

[Thgx0312555]

อสมการเป็นจริงโดย Holder + AM-GM ครับ

$\displaystyle (\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}})^3(3-3abc) \ge (\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}})^3(\sum_{cyc} 1-a^3) \ge 3^4$

which imply the statement

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

อสมการเป็นจริงโดย Holder + AM-GM ครับ

$\displaystyle (\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}})^3(3-3abc) \ge (\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}})^3(\sum_{cyc} 1-a^3) \ge 3^4$

which imply the statement

สวยงามมากครับ