ช่วยสองข้อนี้หน่อยครับ

[Poogunexe]

ผมลองทำแบบฝึกหัดเรื่องอสมการอยู่น่ะครับ แต่ติดสองข้อนี้ ไม่รู้ว่าจะถามใคร ก็เลยตัดสินใจมาถามที่เว็บนี้น่ะครับ
1. จงพิสูจน์ว่า
$\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^3 + d^3}{4} }\geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4} } $ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก
2. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกและ $x+y+z=1$ จงแสดงว่า
$\left(\,1+\frac{1}{x} \right)\left(\,1+\frac{1}{y} \right) \left(\,1+\frac{1}{z} \right) \geqslant 64$
ขอบคุณล่วงหน้านะครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe

ผมลองทำแบบฝึกหัดเรื่องอสมการอยู่น่ะครับ แต่ติดสองข้อนี้ ไม่รู้ว่าจะถามใคร ก็เลยตัดสินใจมาถามที่เว็บนี้น่ะครับ
1. จงพิสูจน์ว่า
$\sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^3 + d^3}{4} }\geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4} } $ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก
2. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกและ $x+y+z=1$ จงแสดงว่า
$\left(\,1+\frac{1}{x} \right)\left(\,1+\frac{1}{y} \right) \left(\,1+\frac{1}{z} \right) \geqslant 64$
ขอบคุณล่วงหน้านะครับ

1.)

HINT

จัดรูป RHS แล้วใช้ Powermean ให้เลขชี้กำลังของ RHS เป็น $\frac{3}{2}$

Sol

$$(\frac{\sum_{cyc}a^2 }{4})^3 \ge (\frac{\sum_{cyc} (ab)^2 }{4})^{\frac{3}{2}} \ge (\frac{\sum_{cyc} (ab)^{\frac{3}{2}} }{4})^2 \ge (\frac{\sum_{cyc}abc }{4})^2$$

2.)

HINT

กระจายแล้วทำให้ดีกรีเท่ากันโดยใช้เงื่อนไขที่ให้มา

Sol

อสมการสมมูลกับ
$$xyz+(\sum_{cyc} (xy))(\sum_{cyc} (x))+(\sum_{cyc} (x))(\sum_{cyc} (x))^2+(\sum_{cyc} (x))^3 \ge 64xyz$$
ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM

[Poogunexe]

ขอบคุณมากครับ ตอนนี้เข้าใจแล้ว