อสมการ แต่งเอง (จูกัดเหลียง)

[BLACK-Dragon]

อันนี้พี่จูกัดเหลียงเค้าแต่งเองนะครับ อยากมาปล่อยดูบ้าง

ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $\dfrac{1}{2+a^{1006}}+\dfrac{1}{2+b^{1006}}+\dfrac{1}{2+c^{1006}}=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\left(\,3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}\right) \left(\,3-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2013}}\right) \left(\,3-\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^{2013}}\right) +27\left(\,1+\dfrac{a}{b}\right) \left(\,1+\dfrac{b}{c}\right) \left(\,1+\dfrac{c}{a}\right) \geq 3^5 $$

[LightLucifer]

แทน $a=b=c=1$ แล้วมันไม่จริงนะครับ

[BLACK-Dragon]

แก้ไขโจทย์แล้วครับ

[นกกะเต็นปักหลัก]

ขอ hint. หน่อยครับ งงมาก

[Thgx0312555]

solution

พิจารณาว่า $1-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}} \ge \dfrac{1}{a^{2012}}$

ให้ $A=a^{1006}, B=b^{1006}, C=c^{1006}$
จะได้ $\displaystyle \prod_{cyc} (3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}) \ge \prod_{cyc}(2+\dfrac{1}{A^2})$

และโดย A.M-G.M $\displaystyle \prod_{cyc}(2+\dfrac{1}{A^2}) \ge \prod_{cyc}(1+\dfrac{2}{A}) = \prod_{cyc}(\dfrac{2+A}{A})$

แต่จากโจทย์ $\displaystyle 1 = \sum_{cyc}(\dfrac{1}{2+A})$

$\displaystyle 1 = 3-2 = \sum_{cyc}(1-\dfrac{2}{2+A}) = \sum_{cyc}(\dfrac{A}{2+A}) \ge 3\sqrt[3]{\prod_{cyc} \dfrac{A}{2+A}} $

ดังนั้น $\displaystyle \prod_{cyc}(\dfrac{2+A}{A}) \ge 27$

จึงสรุปได้ว่า $\displaystyle \prod_{cyc} (3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}) \ge 27$

ต่อมา $(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a}) = 1+(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c})+1 \ge 8$

$\therefore \displaystyle \prod_{cyc} (3-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2013}}) +27(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a})\ge 27+27\cdot 8 = 3^5$