อสมการเลขยกกำลัง

[นกกะเต็นปักหลัก]

จงหาค่า $a\in \mathbb{N} $ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\frac{a^m}{m}<\frac{a^n}{n}
สำหรับทุก$ $m,n\in \mathbb{N},m และ n>5,m<n$

[นกกะเต็นปักหลัก]

มันเป็นจริงสำหรับทุก m,n เลยหรือครับ

[Aquila]

นิยาม $f(a)=ma^n-na^m$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ ต้องการหา $n$ น้อยที่สุดที่ทำให้ $f(a) \geq 1$ เสมอ ทุก $n>m$
จากการที่ $n>m$ จะมีจำนวนเต็มบวก $s$ ที่ทำให้ $m+s=n$ แทนลงใน $f(a)$ จะได้ $f(a)=ma^{m+s}-(m+s)a^m$
และจาก $a^m$ เป็นจำนวนบวก เป็นการเพียงพอที่จะพิจารณา $a$ น้อยที่สุดที่ทำให้ $ma^s-m-s \geq 1$
นิยามให้ $g(x)=mx^s-m-s-1$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $x \geq 2$ และจำนวนเต็ม $s,m$ ที่ $m\geq 6$ $s \geq 1$
$g'(x) > 0$ จะได้ว่า $g$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม โจทย์ต้องการ $a$ น้อยสุด $g(a)$ ต้องน้อยที่สุด
พิจารณาการเขียน $g(a)$ ใหม่เป็น $a^s \geq 1+\frac{s+1}{m}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $s$ ค่าของ $a^s$ มากกว่าค่าของ $1+\frac{s+1}{m}$ เสมอ ดังนั้น $a$ น้อยที่สุดคือ $2$