อสมการ cyclic (a^2)b

[Sirius]

จงหา k ที่มากที่สุดที่ทำให้
$$\sum_{cyc} a^3+k\sum_{cyc} a^2b \geqslant (k+1)\sum_{cyc} a^2c$$
สำหรับทุก $a,b,c\in \mathbb{R}^+$

[Aquila]

ผมพยายามลองดูหลายๆวิธีแล้วนะครับ
ดูเหมือนว่าอสมการสำเร็จรูปจะเอาไม่อยู่
โจทย์ข้อนี้แข็งกว่า IMO 2006/3 อีกนะครับ
ลองจัดรูปอสมการใหม่ดูจะได้ว่า
$|k(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)| \leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2) \leq (a^2+b^2+c^2)^2$

สังเกตดูอสมการคู่ซ้ายสุดกับขวาสุดมันคือ IMO เลยนะ
โจทย์ที่คุณถามมามันแข็งกว่านี้ซะอีก จะแก้ข้อนี้ได้คงต้องใช้เทคนิกอีกระดับนึงแล้วหละครับ