ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[Aroonsawad]

prove that
$$\frac{1}{a^2+7ab+b^2} + \frac{1}{b^2+7bc+c^2} + \frac{1}{c^2+7ca+a^2} \geqslant \frac{1}{ab+bc+ca}$$ when a,b,c is positive real number

[Aquila]

หา $k$ ที่ทำให้ $k(a+b)^2 \geq (a+b)^2+5ab$ มา bound

อสมการที่โจทย์ให้พิสูจน์เป็นผลโดยตรงจากอสมการข้างล่าง

$(\sum ab)(\sum \frac{1}{(a+b)^2+5ab}) \geq (\sum ab)(\frac{1}{k(a+b)^2}) \geq 1$

คู่ขวาสุดนี่มี $k$ ที่โคตร well-known ลองไปทำต่อดูนะครับ

----------------------------------------------------
$k=\frac{9}{4}$ ครับ ตัว Bound แคบของข้อนี้คือ Iran 1996

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aroonsawad

prove that
$$\frac{1}{a^2+7ab+b^2} + \frac{1}{b^2+7bc+c^2} + \frac{1}{c^2+7ca+a^2} \geqslant \frac{1}{ab+bc+ca}$$ when a,b,c is positive real number

Hint

Divide and Conquer!

$\dfrac{1}{a^2+7ab+b^2}\geq\dfrac{c}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

[Thgx0312555]

วิธีล้ำดีนะครับ พอจะมีวิธีดูบ้างไหมครับ ว่าควรใช้วิธีนี้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

วิธีล้ำดีนะครับ พอจะมีวิธีดูบ้างไหมครับ ว่าควรใช้วิธีนี้

เหมือนจะมีคนเคยเขียนบทความไว้ใน AOPS นะครับเกี่ยวกับวิธีหา bound ในรูป $\dfrac{a^k}{a^k+b^k+c^k}$ แต่ผมจำไม่ได้แล้วว่าอยู่ตรงไหน

น่าจะอยู่ในนี้นะ http://www.artofproblemsolving.com/F...orum.php?f=721

สำหรับโจทย์ข้อนี้มันใช้วิธีนี้ได้เพราะผมอยากให้มันเป็นวิธีนี้ครับ

เป็นโจทย์ที่ผมสร้างไว้นานแล้ว ที่มาของโจทย์ข้อนี้มาจากการที่ผมไม่ถูกใจโจทย์ Iran 1996 ที่ยากมากๆ

และไม่สามารถใช้วิธีการที่ผมมีในการแก้ได้ก็เลยลองสร้างโจทย์คล้ายๆ Iran 1996 แต่ปรับให้มันอ่อนขึ้นเพื่อที่จะได้ใช้วิธีธรรมดาได้

สรุปก็คือว่ามันมาจากความเอาแต่ใจของผมนั่นเอง

[Aquila]

เอ๊า นี่เป็นโจทย์อีกข้อของคุณ nooonuii เหรอเนี่ย

ไม่น่ามันดันไปชนกับ Iran 1996 ได้พอดี