ab>ax+by

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $27x+35y \leqslant 945$
จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $xy$ (โดยใช้อสมการ $ AM-GM,Cauchy-Schwarz$ หรืออื่นๆ)

[Thgx0312555]

มีวิธีเสนอให้ 2 วิธีครับ

วิธีที่ 1
A.M-G.M $945\ge 27x+35y \ge 2 \sqrt{945xy}$, $xy \le 236.25$

If $xy=236$ จาก $59 \ | \ 236$ จะได้ $x \ge 59$ or $y \ge 59$ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข $27x+35y \le 945$

If $xy=235$ แบบเดียวกัน $47 \ | \ 235$

ดังนั้น $xy \le 234$ ซึ่ง Hold ที่ $x=18, y=13$

[Thgx0312555]

วิธีที่สอง จะเป็นแนวจัดเป็นพหุนามกำลังสอง
จัดรูป สมการใหม่
$y \le \dfrac{27}{35}(35-x)$
$xy \le \dfrac{27}{35}x(35-x)$

เมื่อ $x \le a \le 17.5$ หรือ $x \ge a \ge 17.5$ จะได้
$x(35-x)-a(35-a) = (x-a)(35-x-a) \le 0$
หรือ
$x(35-x) \le a(35-a)$

ถ้า $x \le 15$ หรือ $x \ge 20$ จะได้ $xy \le \dfrac{27}{35}x(35-x) \le \dfrac{27}{35}\times 15 \times 20 \approx 231.43$

ถ้า $x=16$, $y \le \dfrac{27}{35} \times 19 \approx 14.65$, $y \le 14$, $xy \le 224$
ถ้า $x=17$, $y \le \dfrac{27}{35} \times 18 \approx 13.88$, $y \le 13$, $xy \le 221$
ถ้า $x=18$, $y \le \dfrac{27}{35} \times 17 \approx 13.11$, $y \le 13$, $xy \le 234$
ถ้า $x=19$, $y \le \dfrac{27}{35} \times 16 \approx 12.34$, $y \le 12$, $xy \le 192$

ค่าสูงสุดจึงเป็น $234$ ครับ
(Note ถ้าลองทำเป็น $y$ อาจจะถึกน้อยลงครับ)