โจทย์ลิมิต

[nuclearomme]

ทำออกมาแล้วได้ 1 (หรือลบ 1 ไม่ค่อยแน่ใจ) แต่เฉลยได้ 0 มันทำยังไงหรอคะ

โจทย์ $$\lim_{x \to \infty} \frac{xsinx}{x^2 + cosx}$$

ยังมีอีกหลายข้อเลยที่ไม่เข้าใจ รบกวนด้วยนะคะ


ปล. มันเป็น x เข้าหาลบอินฟินิตี้นะคะ แต่หนูพิมไม่เป็น รบกวนแก้ให้ด้วยค่ะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nuclearomme

โจทย์ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{xsinx}{x^2 + cosx}$$

$-1\leq \sin x\leq 1$

$x\leq x\sin x\leq -x$ ทุก $x<0$

$-1\leq \cos x\leq 1$

$x^2-1\leq x^2+\cos x\leq x^2+1$

$\dfrac{1}{x^2+1}\leq \dfrac{1}{x^2+\cos x}\leq\dfrac{1}{x^2-1}$ ทุก $x<-1$

ดังนั้น $\dfrac{x}{x^2+1}\leq \dfrac{x\sin x}{x^2+\cos x}\leq\dfrac{-x}{x^2-1}$ ทุก $x<-1$

แต่ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^2+1} = 0 = \lim_{x\to-\infty}\dfrac{-x}{x^2-1} $

ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x\sin x}{x^2 + \cos x}=0$

[nuclearomme]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$-1\leq \sin x\leq 1$

$x\leq x\sin x\leq -x$ ทุก $x<0$

$-1\leq \cos x\leq 1$

$x^2-1\leq x^2+\cos x\leq x^2+1$

$\dfrac{1}{x^2+1}\leq \dfrac{1}{x^2+\cos x}\leq\dfrac{1}{x^2-1}$ ทุก $x<-1$

ดังนั้น $\dfrac{x}{x^2+1}\leq \dfrac{x\sin x}{x^2+\cos x}\leq\dfrac{-x}{x^2-1}$ ทุก $x<-1$

แต่ $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^2+1} = 0 = \lim_{x\to-\infty}\dfrac{-x}{x^2-1} $

ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x\sin x}{x^2 + \cos x}=0$

บรรทัดที่ 5 ทำไมถึงเป็น ทุก $x<-1$ หรอคะ

ขอบคุณคุณแฟร์ด้วยนะคะ (ถึงจะอ่านลำบากนิดนึง หนูไม่ค่อยเก่งด้วย)

[nuclearomme]

ถามอีกอย่างนึง เวลาทำแซนด์วิช ถ้าเป็น $x\rightarrow -\infty $ ถ้าคูณ/หารต้องกลับเครื่องหมายด้วยใช่มั้ยคะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nuclearomme

บรรทัดที่ 5 ทำไมถึงเป็น ทุก $x<-1$ หรอคะ

ขอบคุณคุณแฟร์ด้วยนะคะ (ถึงจะอ่านลำบากนิดนึง หนูไม่ค่อยเก่งด้วย)

เนื่องจาก $x\to -\infty$ แสดงว่า $x$ ติดลบมากๆ จึงพิจารณาเฉพาะค่าลบ

$x<-1$ คือเงื่อนไขที่ทำให้อสมการเป็นจริงครับ