การบ้าน math ana

[Twentymath]

กาาบ้าน math ana
จงแสดงว่า sup{$r\in \mathbb{Q} :r<a$}=a สำหรับทุก $a\in \mathbb{R} $
ใครใจดีสอนหนูหน่อย ขอบพระคุนค้าบบ

[gools]

ใช้ความรู้ต่อไปนี้นะครับ

-ให้ $b=\sup\{r\in \mathbb{Q} : r<a\}$ ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า $a\leq b$ และ $a\geq b$ แล้วเราสามารถสรุปได้ว่า $a=b$



-ถ้า $A$ เป็นสับเซ็ตของจำนวนจริงและ $r<a$ ทุกๆ $r \in A$ แล้ว $\sup\{r : r\in A\}\leq a$



-ในขาที่ต้องพิสูจน์ว่า $a\leq b$ เราหาข้อขัดแย้งโดยสมมติว่า $a>b$
ตรงนี้เราต้องใช้สมบัติของ $\mathbb{Q}$ บนจำนวนจริง นั่นก็คือจะมี $q\in \mathbb{Q}$ ที่ทำให้ $a>q>b$
พิสูจน์ว่า $q\in \{r\in \mathbb{Q} : r<a\}$ ทำไมเราถึงได้ข้อขัดแย้ง?

[Twentymath]

ขอบคุณนะคะ เดี้ยวจะลองพยายามทำดู
ขอบคุณมากจริงๆคะ '

[gools]

เนื่องจากมีการคุยกันเล็กน้อยกับน้อง Twentymath ผมก็อยากจะขอถามหาความเห็นเพิ่มเติมจากทุกท่าน ไม่ว่าจะเกี่ยวกับการแก้โจทย์ข้อนี้หรือการแก้ปัญกาใน Analysis โดยทั่วไป ถ้ามีคำแนะนำเพิ่มเติมอะไรก็บอกกันครับ

เนื้อหาใน Private Message

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Twentymath

หนูเข้าใจนะคะ แต่มันก็พิสูจนฺไม่ได้อะ หนูลองพยายามหลายวันหลายคืนแต่มันก้ดูเหมือนจะแถๆ
ทำไงหนูถึงจะเก่ง proof อะคะ พี่ช่วยแนะนำหนุหน่อยได้มั้ยอะ
แบบเรียนแล้วก็รู้สึกเครียดแบบทำการบ้านไม่ได้ แต่หนูจะพยายามนะคะ
ขอบคุณพี่ที่ช่วยหนูนะคะ

"เข้าใจนะคะ แต่มันก็พิสูจนฺไม่ได้อะ" หมายความว่าตาม proof ของคนอื่นทัน แต่พิสูจน์ด้วยตัวเองไม่ได้เหรอครับ

รู้สึกเหมือนปัญหาของน้องก็คือน้องไม่เข้าใจหลักการต่างๆ ใน real analysis ซึ่งวิชานี้มีเทคนิคในการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆที่ไม่เหมือนกับวิชาอื่น นั่นก็คือการใช้ตัวแปร "$\epsilon$" ใน proof

คนที่เจอ proof พวกนี้ใหม่ๆ จะรู้สึกเหมือนจะเป็นการแถแต่สิงเหล่านี้คือ 'ความจริง'

ลองกลับไปดูและศึกษาว่าสิ่งไหนที่น้องรู้สึกเหมือนเป็นการแถ เราจะทำให้มันเป็น "ความจริง" ในโลกของคณิตศาสตร์

1. ให้ $s = \sup A = \sup\{r\in \mathbb{Q} : r<a\}$ แล้วจะมี $a\in A$ ที่อยู่ใกล้ๆ $s$

น้องก็คงจะรู้สึกว่านี่เป็นการแถ แต่ถ้าเราทำให้มันดูดีด้วยการใส่ $\epsilon$ เข้าไป:

2. ให้ $s = \sup A = \sup\{r\in \mathbb{Q} : r<a\}$ แล้ว ทุกๆ $\epsilon > 0$ จะมี $a\in A$ ที่ทำให้ $s-a< \epsilon$

ตรงนี้เป็นความจริงซึ่งเป็นผลโดยตรงมาจากนิยามของ $\sup$ รู้สึกไปมครับว่าข้อความใน 2. เป็นการแถ?

ผมก็ต้องขออภัยในที่นี้ด้วยเนื่องจากการใช้คำว่า "ใกล้" ในการพิสูจน์ทำให้มันดูแปลกๆ
ถ้าเราใส่ตัวแปร $\epsilon$ เข้าไปแทนคำกว่า "ใกล้" ก็จะทำให้ proof ดูดีขึ้น

การเรียนรู้ในการเขียน proof เหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญและวิธีหนึ่งที่จะศึกษาเทคนิดการพิสูจน์ใน Analysis ก็คือการอ่าน proof ใน textbook
1. หาหนังสือใน Real Analysis มาอ่านหนึ่งเล่มแล้วลองอ่านพิสูจน์ต่างๆ น้องต้องมั่นใจว่าทุกๆความรู้ที่คนเขียนเขาใช้ในการพิสูจน์นั้น เป็น "ความจริง"

2. ถ้าไม่เข้าใจตรงไหนจริงๆ วิธีที่ดีที่สุดคือถามอาจารย์ ไม่จำเป็นว่าต้องเป็นอาจารย์ที่น้องเรียนด้วย น้องสามารถถามอาจารย์คนไหนที่น้องเข้าถึงได้ ผมมั่นใจว่า 99% ของศาสตราจารย์เข้าใจเรื่องที่ผมพูดไปทั้งหมดนี้

ความรู้ต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ใช้เยอะที่สุดใน Real Analysis สำคัญมาก
1. ถ้าอยากพิสูจน์ว่า $a=b$ มันอาจจะง่ายกว่าที่จะพิสูจน์ว่า $a\leq b$ และ $b \leq a$
2. ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และ $a<b+\epsilon$ ทุกๆ $\epsilon>0$ แล้ว $a\leq b$ สังเกตว่าเครื่องหมายต่างกันตรงที่ $<$ และ $\leq$

ในกรณีพิเศษ (และใช้บ่อยที่สุดในการพิสูจน์ convergence) สมมติว่า $a$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบและ $a<\epsilon$ ทุกๆ $\epsilon>0$ แล้ว $a= 0$

3. นิยามของ $\sup$ และ $\inf$: ให้ $A$ เป็นสับเซ็ตของจำนวนจริงและ $s=\sup_{a\in A}A$ แล้วทุกๆ $\epsilon >0$ จะมี $a\in A$ ที่ทำให้ $s-a<\epsilon$

ให้ $m=\inf_{a\in A}A$ แล้วทุกๆ $\epsilon >0$ จะมี $a\in A$ ที่ทำให้ $a-m<\epsilon$


ผมขอถามทุกคนในที่นี้ว่ามี textbook ไหนบ้างที่พูดถึงเทคนิคการใช้ $\epsilon$ ในการพิสูจน์ทฤษฎีใน Real Analysis เนื่องจากหนังสือที่ผมอ่านมา (4 เล่ม) ไม่ได้กล่าวถึงเรื่องพวกนี้ ยกเว้นบทที่ 2.1 ใน Terrence Tao's An Introduction to Measure Theory ซึ่งน้องสามารถอ่าน (อ่านเฉพาะข้อ 1 และ 2) ได้ที่

http://terrytao.wordpress.com/2010/1...ing-strategies

แต่ตัวหนังสือเองผมไม่แนะนำให้อ่านเนื่องจากเนื้อหาไม่ใช่ของป.ตรี แต่น้องคนไหนที่เก่ง Analysis ตอนป.ตรีก็อ่านได้ เนื้อหาที่ต้องรู้มาก่อนก็คือบทที่ 0 ใน Folland

สุดท้ายนี้ผมก็ขอให้น้องโชคดีในการศึกษา Analysis นะครับ ตอนป.ตรีผมเองก็ทำได้แย่มากในทุกสาขาในคณิตศาสตร์เพราะว่าผมเล่นมากไปในตอนนั้น แต่ตอนนี้ก็ทำได้ดีขึ้นหลังจากที่ศึกษาด้วยตัวเองจาก Folland ไปสักพักในสองฤดูร้อนที่ผ่านมา

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[nooonuii]

ตอนผมเรียนปริญญาตรีก็เจอปัญหาเดียวกัน เลยเรียนแบบท่องๆจำๆไป

มาเข้าใจอีกทีก็ตอนเรียนปริญญาเอกแล้ว เหมือนจะช้ากว่าคนอื่นไปเยอะแต่ก็ถือว่ายังดีกว่าไม่เข้าใจอะไรเลย