ใครมีโจทย์อสมการสสวท.รบกวนหน่อยครับ

[Aquila]

ตามหัวข้อเลยครับ อยากเห็นแนวข้อสอบสสวท.ค่าย 1 ขึ้นไป ส่วนของเนื้อหาอสมการ+โจทย์ก็ได้

ผมไม่รู้ว่าเขาให้ใช้ Advance ineq พวกอื่นๆนอกเหนือไปจาก pqr, AM-GM, Cauchy หรือเปล่า?

เพราะโจทย์อสมการทุกวันนี้มีเยอะมาก หลากหลายเทคนิก ตั้งแต่ sos,แมตริก,schur,trigon,mixing variable,...

แต่ก็ไม่ได้เจอใน shortlist เท่าไรแล้ว สนามใหญ่อย่าง IMO ออก 3 ตัวแปรล่าสุดก็ปี 2008 นานมาแล้ว

อยากรู้ว่าทุกวันนี้สสวท.สอนอสมการประมาณไหนครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[Thgx0312555]

ค่ายหนึ่งจะมีเนื้อหา
ฺ- Basic ineq
- AM GM
- Cauchy
- reverse AM GM technique
อาจจะมีของเพิ่มเติมเล็กน้อย เช่น Minkowsky

พวก advance inq จะอยู่ค่ายสองครับ
ถ้ารู้เอกลักษณ์พีชคณิตก็จะช่วยในการทำข้อสอบได้เยอะอยู่

ข้อสอบก็อาจจะเจอข้อแปลกๆจำนวนหนึ่ง หรือข้อที่ weak บ้าง
แนะนำว่าถ้าคิดไม่ออกว่าฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาสัมพันธ์กันยังไง
ลองพิสูจน์ว่าฝั่งซ้ายมากกว่า 1 และฝั่งขวาน้อยกว่า 1 ก็ได้ครับ อาจจะแก้ออก 55

[Thgx0312555]

เพิ่มตัวอย่างโจทย์(ไม่ยาก)ด้วยนะครับ
1. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$
Prove that
$$\Big(\sqrt{a^4+b^4+c^4}\Big)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$$
2. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $ab+bc+ca=3$
Prove that
$$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \le \frac{1}{abc}$$
3. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $abc=1$ Prove that
$$\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+2b^2+3} \le \frac{1}{2}$$

[win1234]

ข้อที่ 1 ฝั่ง RHS มันเปลี่ยนเป็นตัวเลขที่ทำให้อสมการ sharp กว่านี้ได้นี่นาครับ
ปล. หรือว่าผมคิดไปคนเดียว???

[Thgx0312555]

โจทย์มันเป็นแบบนี้แหละครับ บางข้อก็ไม่มีความ sharp เลย
โจทย์ข้อแรกง่ายสุดแล้วครับ

[win1234]

บางครั้งโจทย์ที่ไม่มีความ sharp เลย ผมว่ามันจะสวยมาก ถ้าเราทำโดยการ bound ขอบให้ตัวเลขพอดีกับโจทย์เลยแต่แรกนี่สุดยอดสุดๆ555

[polsk133]

รบกวนขอตัวอย่างโจทย์ที่ยากขึ้นมาอีดทีสิครับ

[Thgx0312555]

เอาอีก 4 ข้อก่อนครับ
1. Let $x,y,z$ be positive real numbers satisfying $x+y+z=3$. Prove that $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \ge x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}$.

2. Let $a,b,c \ge 0$. Suppose $a+b+c \ge abc$. Prove that $a^2+b^2+c^2 \ge abc$

3. Let $a,b,c >0$ be such that $a+b+c \ge 3abc$. Prove that $a^2+b^2+c^2 \ge 2abc$

4. Let $a,b,c,d$ be positive real numbers. Prove that
$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^2 \ge \frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2+b^2}+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{16}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

พยายามอย่าโพสต์ข้อสอบในค่าย สสวท ลงในเว็บบอร์ดต่างๆนะครับ บางข้อเขาก็ห้ามเผยแพร่

[polsk133]

ขอบคุณครับ ยากมากเลย(สำหรับผม)

[polsk133]

โจทย์ สสวท แปลกจังเลยครับ (ถ้าผมทำไม่ผิด) มัน weakหลายข้อเลย

[Thgx0312555]

เพิ่มอีก 4 ข้อครับ คงไม่ได้เพิ่มโจทย์อีกแล้ว แต่แค่นี้ก็ยากแล้วครับ

5. Let $x \ge 0, y \ge 0$ be real number with $x+y = 2$. Prove that $x^2y^2(x^2+y^2) \le 2$

6. Let $a,b,c,d>0$. Prove that $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}>2$

7. Let $a,b \ge 0$ with $a+b=1$. Prove that $\sqrt{a^2+b}+\sqrt{a+b^2}+\sqrt{1+ab} \le 3$

8. Let $a,b,c$ be positive real numbers satisfying $a+b+c=1$. Prove that
$$\frac{1}{ab+2c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1}{ca+2b^2+2b} \ge \frac{1}{ab+bc+ca}$$

[Aquila]

กราบขอบคุณคุณ THGX นะครับ สำหรับเนื้อหา+โจทย์

ต้องออกตัวก่อนว่าผมเองไม่ได้เข้าค่ายอะไรหรอก เป็นแค่ผู้สนใจ
อยู่ๆนึกอยากเห็นลักษณะข้อสอบของค่ายสูงๆเท่านั้นเองครับ

ปล.โจทย์ยากจริงอะไรจริง