ถามโจทย์อินติเกรตทีละส่วน

[I am rock.]

$$\int{(x^3+x)e^{x^2}} dx$$
$$\int{arcsin ax}dx$$
$$\int{ln(2x+3)}dx$$

ช่วยเฉลยให้หน่อยครับ

ขอบคุณครับ

[FranceZii Siriseth]

$\int ln(2x+3)dx $
=$\frac{1}{2} \int ln(2x+3)d(2x+3) $

จาก $\int ln(u)du $ = $uln \mid u\mid -u+c$

=$\frac{1}{2} \int ln(2x+3)d(2x+3) $
$\frac{1}{2} (2x+3)ln\mid2x+3\mid-(2x+3)+c$

[FranceZii Siriseth]

$\int (x^3+x)(e^{x^2})dx $
$=\int (x^3+x) \frac{1}{2x} d(e^{x^2})$
$=\frac{1}{2} \int(x^2+1)d(e^{x^2})$
$=\frac{1}{2}[(x^2+1)(e^{x^2})-\int e^{x^2} d(x^2+1)]$
$=\frac{1}{2}[(x^2+1)(e^{x^2})-e^{x^2}]+c$

[FranceZii Siriseth]

$\int arcsin(ax)dx$
$=xarcsin(ax)-\int x d(arcsin(ax))$

$\frac{darcsin(ax)}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}}a$

$=xarcsin(ax)-\int x d(arcsin(ax))$

$=xarcsin(ax)-\int \frac{xa}{\sqrt{1-(ax)^2}} dx$
$=xarcsin(ax)-\int \frac{ax}{\sqrt{1-(ax)^2}} \frac{d(ax)^2}{2xa^2}$
$=xarcsin(ax)-\frac{1}{2a}\int \frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}} d(ax)^2$

ให้ $(ax)^2=u$ พิจารณา $\int \frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}} d(ax)^2$
$=\int \frac{1}{\sqrt{1-(u)}} d(u)$
$=-2\sqrt{1-(u)} $
$=-2\sqrt{1-(ax)^2} $

$\int arcsin(ax)dx$
$=xarcsin(ax)+\frac{1}{a}(\sqrt{1-(ax)^2}+c$

[I am rock.]

ขอบคุณมากครับ