คล้ายๆ Nesbitt

[FranceZii Siriseth]

ไม่ทราบว่ามีคนเคยถามหรือยังนะครับ
จงหาค่าต่ำสุดของ $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$$
เมื่อ $a,b,c>0$

[nooonuii]

$a,b,c>0$ หรือเปล่าครับ

[FranceZii Siriseth]

ใช่ครับ ตกไป

[Beatmania]

คาดว่าไม่น่ามีค่าต่ำสุด แต่ค่าสามารถลดลงจนกระทั่งมันเป็น $1$ ได้ครับ

เพราะว่า $\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}=\sum_{cyc}\frac{1}{1+\frac{b}{a}}=\sum_{cyc}\frac{1}{1+x}$ โดย $xyz=1$

และเนื่องจาก $\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}>\sum_{cyc}\frac{a}{a+b+c}=1$ ทำให้ได้ว่าค่าที่ต้องการมีค่ามากกว่า $1$

และเราสามารถบีบค่าให้น้อยลงได้เรื่อยๆ

(เช่นให้ $x=y=n,z=\frac{1}{n^2}$ และเราให้ $n\rightarrow\infty$แล้วจะได้ $\sum_{cyc}\frac{1}{1+x}=\frac{2}{n+1}+\frac{n^2}{n^2+1}=\frac{n^3+3n^2+2}{n^3+n^2+n+1}$ ซึ่งมีลิมิตเข้าใกล้ $1$)

ดังนั้นจึงไม่มีค่าต่ำสุดครับ

[nooonuii]

ตามที่ Beatmania บอกไปครับ ขอเสริมดังนี้

1. ถ้า $a,b,c\geq 0$ โดยที่ไม่มีคู่ใดเป็นศูนย์พร้อมกัน

1.1 $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} \geq 1$

1.2 $\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a} \geq 1$

2. ถ้า $a,b,c>0$

2.1 $1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} < 2$

2.2 $1< \dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a} < 2$

3. ถ้า $a,b,c>0$

3.1 $\min\left\{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a},\dfrac{b}{a+b}+
\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}\right\} \leq \dfrac{3}{2}$

3.2 $\max\left\{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a},\dfrac{b}{a+b}+
\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}\right\} \geq \dfrac{3}{2}$

[FranceZii Siriseth]

ขอบคุณทั้งสองคนมากๆเลยครับ

[Aquila]

ถ้าเข้าใจแล้วลองทำข้อนี้ดูครับ

(IMO1974/5) สำหรับ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $$\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$$

ปล.ไอเดียคล้ายๆ #2 และไอเดียเดียวกันก็น่าจะใช้แก้ข้อ 2 ของคุณ nooonuii ได้ด้วย

[FranceZii Siriseth]

อย่างนี้หรือเปล่าครับ
$$\begin{array}{rcl}
& \sum_{cyc} \frac{a}{a+b+d} \\
&> \sum_{cyc} \frac{a}{a+b+c+d} =1 \\
\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}
& \sum_{cyc} \frac{a}{a+b+d} \\
& <\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}=2 \\
\end{array}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

อย่างนี้หรือเปล่าครับ
$$\begin{array}{rcl}
& \sum_{cyc} \frac{a}{a+b+d} \\
&> \sum_{cyc} \frac{a}{a+b+c+d} =1 \\
\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}
& \sum_{cyc} \frac{a}{a+b+d} \\
& <\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}=2 \\
\end{array}$$

ยังมีอีกส่วนที่โจทย์ต้องการครับ

[Aquila]

ผมบอกแบบนี้ละกัน โจทย์แนวนี้มีอะไรมากกว่าที่คนบางคนเห็น

อสมการ original ของที่ถามมาไม่มีค่าต่ำสุดตามความเห็นที่ 4 บอกด้วยลิมิต

คือมันก็มากกว่า 1 และก็บีบลงให้เกือบๆชิดกับ 1 ได้ สำหรับ lower bound

ส่วน upper bound มันบีบให้ใกล้ๆ 2 ได้ แต่ก็ไม่ถึง 2 อยู่ดี

เพราะฉะนั้นเหนือจำนวนจริงบวก มันเลยหาได้เฉพาะ best bound บน+ล่าง

ที่ทำๆมาคือการหาว่า best bound เป็นเท่าไร ในที่นี้ก็หาออกมาได้เป็น (1,2) (เป็นช่วงเปิดนะ)

แต่ถ้าผมบอกว่า ผมหามาได้อีกช่วงคือ ช่วง (1.1,1.9) ละ

ถามว่าช่วงนี้อธิบายค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของที่ถามมั้ย ก็ตอบว่าไม่ ช่วงนี้ไม่ใช่ best bound

เพราะฉะนั้น หน้าที่ของเราคือการพิสูจน์ว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของนิพจน์ $\sum \frac{a}{a+b}$ จะตกลงบนช่วง (1,2) แน่นอน

-------------------------------------------------------------------

ถ้าให้ $S$ เป็นเซตที่บรรจุค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของนิพจน์ที่โจทย์ถามเหนือจำนวนจริงบวก

ที่ทำๆมาคือเอาอสมการมา bound ให้เห็นเป็นตัวเลข เป็นการพิสูจน์ว่า $S \subset (1,2)$ แค่นั้นครับ

ถ้าเราจะพิสูจน์ว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\sum \frac{a}{a+b}$ หรือ $\sum \frac{a}{a+b+d}$

ต้องอยู่ในช่วง $(1,2)$ เท่านั้น เราต้องพิสูจน์ขากลับด้วยว่า $(1,2) \subset S$

มันจะ imply ได้เลยว่า $S=(1,2)$ นั้นคือ ทุกๆ $a,b,c,d$ ที่ $S$ generate ออกมา ต้อง fall ในช่วงนี้

และช่วงนี้คือ best bound วิธีพิสูจน์ไม่ยากมาก ทำคล้ายๆแบบความเห็นที่ 4 เอาขอบมาเชคลิมิตครับ