INEQ

[FranceZii Siriseth]

$a,b,c>0 \quad , a+b+c=3 $. Prove that

$\sum_{cyc}\dfrac{1}{2a^2-6a+9} \le \dfrac{3}{5}$

หาหนทางไม่เจอเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

$a,b,c>0 \quad , a+b+c=3 $. Prove that

$\sum_{cyc}\dfrac{1}{2a^2-6a+9} \le \dfrac{3}{5}$

หาหนทางไม่เจอเลยครับ

$\dfrac{1}{2a^2-6a+9}\leq \dfrac{2a+3}{25}$

[FranceZii Siriseth]

ขอบคุณมากครับ ไปเสกค่านั้นมาจากไหนหรอครับ

[polsk133]

มันจะเป็นการ bound ว่า
$\dfrac{1}{2a^2-6a+9}\leqslant ma+n$

กระจาย แล้วจัดรูปให้ได้ $x^3+ax^2+bx+c\geqslant 0$ ซึ่งมันจะติด m,n อยู่ด้วย

จากนั้นดูว่าอสมการ hold ที่ไหน พหุนามกำลัง3มันจะมี $(x-ตัวที่hold)^2 $ เป็นตัวประกอบด้วย

แล้วจะเหลือแค่หาตัวที่เหมาะสมอีก 1 วงเล็บ ซึ่งในที่นี้เรารู้ว่า $3m+3n=\frac{3}{5}$ ก็ต้องลองกระจายแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ต่อครับ

สังเกตว่าก้อนด้านบน ถ้าเรากระจายมันจะจัดรูปได้ $(a-1)^2(a+0.5)\geqslant 0$ เป็นไปตามที่บอกว่าตัวที่ hold จะเป็นกำลังสอง ส่วนอีกตัวเราต้องหาค่าที่เหมาะเองครับ(โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ $X^3+ax^2+bx+c$ กับ $(x-1)^2(x-k)$ เพื่อหา k ครับ)

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

จากนั้นดูว่าอสมการ hold ที่ไหน พหุนามกำลัง3มันจะมี $(x-ตัวที่hold)^2 $ เป็นตัวประกอบด้วย

ตอนนี้ผมทำตามแล้วจะได้สมการ $2m(a^3)+(\dfrac{2}{5}-8m)a^2+(15m-\dfrac{6}{5})a+\dfrac{4}{5}-9m$

เพราะว่า อสมการ hold ที่ $a=b=c=1$ แทน $a=1$ เข้าไปจะเป็นจริง
พอหารสังเคราะห์อีกรอบ มันหารไม่ลง แต่พี่บอกว่ามันต้องหารลงตัว ดังนั้น $m=\dfrac{2}{25} \quad ,n = \dfrac{3}{25}$

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้นหรอครับ มันน่าจะวิธีการเดียวที่ได้มาซึ่งตัวนี้

$\dfrac{1}{2x^2-6x+9} = \dfrac{1}{5}+\dfrac{2(x-1)}{25} -\dfrac{2(x-1)^2(2x+1)}{2x^2-6x+9}$

ซึ่งผมก็อยากรู้เหมือนกันครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

ตอนนี้ผมทำตามแล้วจะได้สมการ $2m(a^3)+(\dfrac{2}{5}-8m)a^2+(15m-\dfrac{6}{5})a+\dfrac{4}{5}-9m$

เพราะว่า อสมการ hold ที่ $a=b=c=1$ แทน $a=1$ เข้าไปจะเป็นจริง
พอหารสังเคราะห์อีกรอบ มันหารไม่ลง แต่พี่บอกว่ามันต้องหารลงตัว ดังนั้น $m=\dfrac{2}{25} \quad ,n = \dfrac{3}{25}$

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้นหรอครับ มันน่าจะวิธีการเดียวที่ได้มาซึ่งตัวนี้

$\dfrac{1}{2x^2-6x+9} = \dfrac{1}{5}+\dfrac{2(x-1)}{25} -\dfrac{2(x-1)^2(2x+1)}{2x^2-6x+9}$

ซึ่งผมก็อยากรู้เหมือนกันครับ

เพราะว่าอสมการมันต้อง hold ได้ครับ ซึ่งเรารู้ว่ามัน hold ที่ a=1 ดังนั้นมันต้องมี (a-1) เป็นตัวประกอบของพหุนามนั้น แต่ว่าอสมการที่เราต้องการมันต้องจริงทั้ง aมากกว่าหรือน้อยกว่า1 ดังนั้นมันต้องเป็น $(a-1)^2$ ครับ

[FranceZii Siriseth]

อ๋ออ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

[polsk133]

โจทย์เพิ่มเติมของวิธีนี้ครับ ลองฝึกดูครับ รุ่นพี่ของผมทำไว้เมื่อปีที่แล้ว

[FranceZii Siriseth]

ขอบคุณสำหรับโจทย์ตัวอย่างนะครับ เดี๋ยวจะโพสวิธีทำครับ

ข้อแรกผมได้ $\dfrac{1}{7-x} \le \dfrac{x^2+1}{12}$ ถูกหรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

ขอบคุณสำหรับโจทย์ตัวอย่างนะครับ เดี๋ยวจะโพสวิธีทำครับ

ข้อแรกผมได้ $\dfrac{1}{7-x} \le \dfrac{x^2+1}{12}$ ถูกหรือเปล่าครับ

ตัวนี้แยกแล้วไม่ยืนยันค่าบวกครับ ต้องเป็นตัวนี้

$\dfrac{1}{7-x} \le \dfrac{x^2+11}{72}$

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตัวนี้แยกแล้วไม่ยืนยันค่าบวกครับ ต้องเป็นตัวนี้

$\dfrac{1}{7-x} \le \dfrac{x^2+11}{72}$

ทำได้แล้วครับ