พิสูจน์อสมการ

[กขฃคฅฆง]

$x,y,z > 0$ Prove that

$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \geqslant \sqrt{2} (x\sqrt{y^2+z^2} +y\sqrt{z^2+x^2} +z\sqrt{x^2+y^2})$

[Beatmania]

Cauchy:

$\sqrt{x} \sqrt{2xy^2+2xz^2} +\sqrt{y} \sqrt{2yx^2+2yz^2} +\sqrt{z} \sqrt{2zx^2+2zy^2} \leq \sqrt{2(x+y+z)(xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2)} $

กระจายแล้วใช้ AM-GM ครับ ไม่รู้ว่ามีวิธีดีกว่านี้รึเปล่า - -""