อินทิเกรตตรีโกณมิติครับ

[mark123 ^.^]

1. กำหนดให้ $n$ เ้ป็นจำนวนคู่ จงหาค่าของ

$\lim_{n \to \infty }({\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\,sin^{n}x dx })$

2. กำหนดให้ $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,tan^{n} x dx $ จงหาค่าของ

$\lim_{n \to \infty}nI_{n}$

ช่วยหน่อยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mark123 ^.^

1. กำหนดให้ $n$ เ้ป็นจำนวนคู่ จงหาค่าของ

$\lim_{n \to \infty }({\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\,sin^{n}x dx })$

2. กำหนดให้ $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,tan^{n} x dx $ จงหาค่าของ

$\lim_{n \to \infty}nI_{n}$

ช่วยหน่อยครับ

ข้อ 1. ให้ $u = \sin^{n-1}x \,dx$ , $dv = \sin x \,dx$ และ $I_n = \int_{0}^{\pi/2}\sin^n x \,dx $

จากนั้นใช้อินทิกรัลแบบแยกส่วน (integration by parts) จะได้

$I_n = 0 +(n-1)[I_{n-2} - I_n]$

ซึ่งจัดรูปเป็น $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$

จะได้ $I_0 = \frac{\pi}{2}, I_2 = \frac{1}{2}I_0 = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}$

โจทย์กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนคู่ จะได้ $I_n = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 5 \cdot 3 \cdot 1 }{n(n-2)\ldots 6\cdot 4 \cdot 2}\cdot \frac{\pi}{2}$

ลิมิตหาเอาเองครับ.

Note. เนื่องจาก $\int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(a-x)\,dx$

ดังนั้นจึงได้ $\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x \,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos^n x \,dx $

ข้อ 2. ลองแสดงให้ได้ว่า $I_n + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$ ครับ.

[mark123 ^.^]

มาลองทำต่อครับ
1. $(\prod_{n = 1}^{\infty} {\frac{2n-1}{2n}})\frac{\pi}{2} = 0$
2.เริ่มจาก proof ที่ Hint ให้ก่อนนะครับ
\begin{array}{rcl}
\int{\tan^{n}{x} dx}&=&\int{\tan^{n-2}{x}*\tan^2{x}dx}\\
I_{n}&=&\int{\tan^{n-2}{x}*(\sec^2{x}-1)dx}\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\int{\tan^{n-2}{x}*\sec^2{x}dx}\\
u = \tan^{n-2}{x} && dv = \sec^2{x}dx\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\tan^{n-1}{x} - (n-2)\int{\tan^{n-2}{x}\sec^2{x} dx}\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\tan^{n-1}x - (n-2)[\int{\tan^{n-2}xdx+\int{\tan^{n}{x}dx}]}\\
I_{n}+I_{n-2}&=& 1 - (n-2)[I_{n}+I_{n-2}]\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\frac{1}{n-1}\\
(n-1)I_{n}+(n-1)I_{n-2}&=&1\\
nI_{n}-I_{n}+(n-2)I_{n-2}+I_{n-2} &= &1\\
\lim_{n \to \infty}{(nI_{n}-I_{n}+(n-2)I_{n-2}+I_{n-2})} &=& 1\\
2\lim_{n \to \infty}{nI_{n}}&=&1\\
\lim_{n \to \infty}{nI_{n}}&=&\frac{1}{2}
\end{array}
ข้อสองประมาณนี้ไหมอะครับ ผมไม่แน่ใจตอน take limit อะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mark123 ^.^

มาลองทำต่อครับ
1. $(\prod_{n = 1}^{\infty} {\frac{2n-1}{2n}})\frac{\pi}{2} = 0$
2.เริ่มจาก proof ที่ Hint ให้ก่อนนะครับ
\begin{array}{rcl}
\int{\tan^{n}{x} dx}&=&\int{\tan^{n-2}{x}*\tan^2{x}dx}\\
I_{n}&=&\int{\tan^{n-2}{x}*(\sec^2{x}-1)dx}\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\int{\tan^{n-2}{x}*\sec^2{x}dx}\\
u = \tan^{n-2}{x} && dv = \sec^2{x}dx\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\tan^{n-1}{x} - (n-2)\int{\tan^{n-2}{x}\sec^2{x} dx}\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\tan^{n-1}x - (n-2)[\int{\tan^{n-2}xdx+\int{\tan^{n}{x}dx}]}\\
I_{n}+I_{n-2}&=& 1 - (n-2)[I_{n}+I_{n-2}]\\
I_{n}+I_{n-2}&=&\frac{1}{n-1}\\
(n-1)I_{n}+(n-1)I_{n-2}&=&1\\
nI_{n}-I_{n}+(n-2)I_{n-2}+I_{n-2} &= &1\\
\lim_{n \to \infty}{(nI_{n}-I_{n}+(n-2)I_{n-2}+I_{n-2})} &=& 1\\
2\lim_{n \to \infty}{nI_{n}}&=&1\\
\lim_{n \to \infty}{nI_{n}}&=&\frac{1}{2}
\end{array}
ข้อสองประมาณนี้ไหมอะครับ ผมไม่แน่ใจตอน take limit อะครับ

ใช่ครับ.