??อสมการ MuirHead (Muirhead inequality)

[LiveDieThisDay]

อสมการ MuirHead กับอสมการ แบรนูลีย์ นี่พิสูจน์ยังไงหรือครับ มีหนังสือขายหรือเปล่าครับอยากลองอ่านดู พอดีชอบ
ทฤษฏีจำนวน เห็น ว่ามันน่างง ดีเลยอยากหาวิธีพิสูจน์ดู

[Pitchayut]

อสมการ Bernoulli พิสูจน์โดยใช้ weighted-AM-GM ครับ มันจะมี 2 กรณึคือกรณีที่ $0<p<1$ ซึ่งจะได้ว่า $(1+x)^p<1+px$ กับกรณีที่ $p>1$ ซึ่งจะได้ว่า $(1+x)^p>1+px$ ลองทำกรณีแรกดูครับ แล้วกรณีที่ 2 จะตามมาเองโดยการแทน $p$ เป็น ... และแทน $x$ เป็น... ในกรณีแรก

[กขฃคฅฆง]

แบรนูลีอีกวิธี

กำหนด $f: (-1,\infty )\rightarrow \mathbb{R} $ โดยที่ $f(x) = (1+x)^p-1-px$ จะได้ $f'(x) = p(1+x)^{p-1}-p$

กรณี $0<p<1$

ถ้า $-1<x<0$ จะได้ $f'(x) >0$

ถ้า $x=0$ จะได้ $f'(x)=0$

ถ้า $x>0$ จะได้ $f'(x)<0$

จะได้ว่า $f(0)=0$ เป็นค่าสูงสุดของ $f$

กรณี $p>1$ ทำคล้ายๆกัน