อสมการ

[eX]

a^ab^bc^cณa_bb^cc^a
a b c เป็นจำนวนจริงบวก พิสูจน์ยังไงคับ

[eX]

a ตัวนั้น ยกกำลัง b นะคับ
อสมการนี้ไม่สมมาตรใช่ปะคับ เราไม่สามารถจะสมมติ a>b>c ได้ถูกมั้ยคับ
แล้วทำไงดี คิดมานานแล้ว

[gon]

ต้องใช้อสมการถ่วงน้ำหนัก AM - GM ครับ.
ที่ว่าอะไรนะเดี๋ยวนึกก่อน .... น้องคงกำลังศึกษาเรื่องอสมการใช่ใหมครับ.
อ๋อที่ว่า....... นั่นล่ะน้องงรู้ใช่ใหมครับ.
เพียงแต่ว่าเราใช้เป็น a/b , b/c, c/a อะไรทำนองนี้ล่ะครับ.
แล้วยกกำลัง a+b+c+ ทั้ง 2 ข้างมั้ง มันจะได้
ทั้งหมด 3 แบบ ไม่ใช่แค่แบบที่น้องว่ามาแบบเดียวเท่านั้น
เพราะว่าเราเปลี่ยนการวนคู่ a,b,c ไปจะได้ 3 แบบ
ถ้าทำไม่ได้ว่ามาอีกทีเดี๋ยวจะทำให้ดูครับ

้อ้อ ลืมบอกไปไม่ต้องสมมติ ว่า a>b>c ก็ไม่มีผลอะไรครับ

จะลองทำดูคับ

ผมทำไม่ได้อะคับ พี่เฉลยให้ดูหน่อยซิ

[gon]

อสมการถ่วงน้ำหนัก คือ
a₁w₁ + a₂w₂ + ... + a_nw_nณa₁^w₁ + a₂^w₂ + .... a_n^w_n +
โดยที่ w₁ + w₂ + ... + w_n = 1
ดังนั้น (a/b)(b/a+b+c) + (b/c)(c/a+b+c) + (c/a)(a/a+b+c) ณ (a/b)^b/a+b+c(b/c)^c/a+b+c(c/a)^a/a+b+c
ทางซ้ายมือรวมกันได้ 1 จากนั้นเมื่อยกำลัง a+ b +c ทั้งสองข้าง แล้วย้ายข้างจะได้ตามต้องการ

โดยอสมการ rearrangement* ได้ว่า
a loga + b logb + c logc ณ b loga + c logb + a logc
จบ

* Rearrangement inequality: If a₁ณ . . . ณ a_n, b₁ณ . . . ณ b_n and p is a permutation of {1, . . . ,n}, then
a₁b₁ + . . . + a_nb_n
ณ a_p(1)b_p(1) + . . . + a_p(n)b_p(n).

โดยอสมการ rearrangement* ได้ว่า
a loga + b logb + c logcณb loga + c logb + a logc
จบ

* Rearrangement inequality: If a₁ณ. . .ณa_n, b₁ณ. . .ณb_n and p is a permutation of {1, . . . ,n}, then
a₁b₁+ . . . +a_nb_n ณa_p(1)b_p(1)+ . . . +a_p(n)b_p(n).