น่าดู

[Spotanus]

กำหนด $\triangle ABC$ มีด้านยาว $a,b,c$ และมี $r$ เป็นความยาวรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม.
ให้
$$P=\left(a+b+c\right)\left(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\right)$$
จงแสดงว่า
$$\frac{2}{729}P^{3}+2r^{3} \geq Pr^{2}$$

REALLY USEFUL HINT

ใช้ AM-GM

[JanFS]

ให้ $P=18p$ อสมการที่ต้องการพิสูจน์จะกลายเป็น
$$8p^{3}+r^{3} \geq 9pr^{2}$$
แต่เราใช้ weighted AM-GM ได้ว่า
$$8p^{3}+r^{3} \geq 9p^{8/3}r^{1/3}$$
แต่สุดท้ายนี่สิครับ ผมไม่แน่ใจว่า $p \geq r$ รึเปล่า

[God Phoenix]

จริงครับคุณ JanFS
จากอสมการ Cauchy-Schwarz

$P=(a+b+c)(tan\frac {A}{2}+tan\frac {B}{2}+tan\frac {C}{2})$
$=((b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c))(tan\frac {A}{2}+tan\frac {B}{2}+tan\frac {C}{2})$
$\geq (\sqrt {(b+c-a)tan \frac {A}{2}}+\sqrt {(c+a-b)tan \frac {B}{2}}+\sqrt {(a+b-c)tan \frac {C}{2}})^2$
$= (\sqrt {2r}+\sqrt {2r}+\sqrt {2r})^2$
$=18r$

ดังนั้น $p\geq r$

[God Phoenix]

อ่า...
ดูท่า คุณ Spotanus
ชอบเล่นคำผวนนะครับ