A problem 7

[tatari/nightmare]

555+ กลายเป็น series ไปแล้ว
Let $a,b,c$ be the sides of triangle,then prove that
$$\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}} \geq \sqrt{\dfrac{(a+b+c)^3}{3abc}}$$

[The jumpers]

[CH!nn@MonZaN]

เรา homogenized ให้ $a=x+y$,$b=y+z$,$c=z+x$ นะครับ


นั่นคือต้องพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x+y}{z}} \geq \sqrt{\dfrac{16(x+y+z)^3}{3(x+y)(y+z)(z+x)}}}$
โดย Holder เราจะได้ว่า


$({\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x+y}{z}}})^2$ $({\sum_{cyc}z(x+y)^2})$ $\geq 8(x+y+z)^3$
แต่ ${\sum_{cyc}z(x+y)^2}={\sum_{sym}xy^2}+6xyz$
ซึ่ง $3(x+y)(y+z)(z+x) \geq 2{\sum_{sym}xy^2}+12xyz$

ดังนั้นเราได้ว่า $({\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x+y}{z}})^2 \geq \dfrac{16(x+y+z)^3}{3(x+y)(y+z)(z+x)}}$ ตามต้องการ

[tatari/nightmare]

Yeah!! That's cool!!!CH!NN@MONZAN

solution

โดยอสมการ Holder เราได้ว่า
$$(\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}})(\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}})(\sum_{cyc}x^2(y+z-x))\geq (x+y+z)^3$$
ทำให้ได้ว่า
$$(\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}})^2\geq\dfrac{(x+y+z)^3}{\sum_{cyc}x^2(y+z-x)}$$
จึงเหลือเพียงพิสูจน์ว่า
$\sum_{cyc}x^2(y+z-x)\leq 3xyz \Leftrightarrow \sum_{sym}x^2y\leq 3xyz+\sum_{cyc}x^3$ ซึ่งเป็นจริงโดย Schur's Inequality #####

Poon.

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

Yeah!! That's cool!!!CH!NN@MONZAN

solution

โดยอสมการ Holder เราได้ว่า
$$(\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}})(\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}})(\sum_{cyc}x^2(y+z-x))\geq (x+y+z)^3$$
ทำให้ได้ว่า
$$(\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}})^2\geq\dfrac{(x+y+z)^3}{\sum_{cyc}x^2(y+z-x)}$$
จึงเหลือเพียงพิสูจน์ว่า
$\sum_{cyc}x^2(y+z-x)\leq 3xyz \Leftrightarrow \sum_{sym}x^2y\leq 3xyz+\sum_{cyc}x^3$ ซึ่งเป็นจริงโดย Schur's Inequality #####

Poon.

$x=a,y=b,z=c$?