prove Huygens Inequality

[Soopreecha]

$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geqslant 7^4$$

[nongtum]

เงื่อนไขของ $x,y,z$ คืออะไรครับ

[Soopreecha]

x,y,z > 0 ครับ

[Spotanus]

$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geqslant \left(1+\sqrt[4]{3x\cdot \frac{8y}{x} \cdot \frac{9z}{y} \cdot \frac{6}{z}}\right)^{4}=7^{4} $$

[Soopreecha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geqslant \left(1+\sqrt[4]{3x\cdot \frac{8y}{x} \cdot \frac{9z}{y} \cdot \frac{6}{z}}\right)^{4}=7^{4} $$

ขอบคุณครับ

[Spotanus]

ใช้ AM-GM ตรงๆก็ได้นะครับ
คือเรากระจายสองก้อนแรกก่อนแล้วใช้AM-GM
แล้วเราก็กระจายสองก้อนหลังแล้วใช้ AM-GM
แล้วเอาสองอันที่ได้มากระจาย แล้วก็ AM-GM
ฟังดูเหมือนเยอะนะครับ แต่จริงๆมันไม่ยาก
แล้วก็ ปุ้ง! จบเลย

[Soopreecha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ใช้ AM-GM ตรงๆก็ได้นะครับ
คือเรากระจายสองก้อนแรกก่อนแล้วใช้AM-GM
แล้วเราก็กระจายสองก้อนหลังแล้วใช้ AM-GM
แล้วเอาสองอันที่ได้มากระจาย แล้วก็ AM-GM
ฟังดูเหมือนเยอะนะครับ แต่จริงๆมันไม่ยาก
แล้วก็ ปุ้ง! จบเลย

กระจายอันแรก

$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})=1+3x+\frac{8y}{x}+24y$$

$$\geqslant 4\sqrt[4]{(3x)(\frac{8y}{x})(24y) }$$

กระจายอันที่สอง

$$(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})=1+\frac{9z}{y}+\frac{6}{z}+\frac{54}{y}$$

$$\geqslant 4\sqrt[4]{(\frac{9z}{y})(\frac{6}{z})(\frac{54}{y})}$$

ทำยังไงต่อครับ

[Spotanus]

= =" เอ่อ... มันไม่ใช่ยังงั้นครับ ยังงั้นเงื่อนไขสมการจะหายไป คุณควรทำยังงี้
$$A=(1+3x)(1+\frac{8y}{x})=1+3x+\frac{8y}{x}+24y $$
$$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{x}{2})^{6/49} \cdot (\frac{4y}{3x})^{6/49} \cdot (\frac{2y}{3})^{36/49}$$
$$=49 \cdot (\frac{2y}{3})^{6/7}$$
และ
$$B=(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})=1+\frac{9z}{y}+\frac{6}{z}+\frac{54}{y} $$
$$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{3z}{2y})^{6/49} \cdot (\frac{1}{z})^{6/49} \cdot (\frac{3}{2y})^{36/49}$$
$$=49 \cdot (\frac{3}{2y})^{6/7}$$
ดังนั้น
$$AB \geq 7^{4}$$
อสมการสุดท้าย ก็โดย AM-GM อีกละครับ (ตรงตามที่บอกเลยใช่มิ ไม่เชื่อลองไปอ่านข้างบนดูสิครับ)

[Soopreecha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

= =" เอ่อ... มันไม่ใช่ยังงั้นครับ ยังงั้นเงื่อนไขสมการจะหายไป คุณควรทำยังงี้
$$A=(1+3x)(1+\frac{8y}{x})=1+3x+\frac{8y}{x}+24y $$
$$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{x}{2})^{6/49} \cdot (\frac{4y}{3x})^{6/49} \cdot (\frac{2y}{3})^{36/49}$$
$$=49 \cdot (\frac{2y}{3})^{6/7}$$
และ
$$B=(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})=1+\frac{9z}{y}+\frac{6}{z}+\frac{54}{y} $$
$$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{3z}{2y})^{6/49} \cdot (\frac{1}{z})^{6/49} \cdot (\frac{3}{2y})^{36/49}$$
$$=49 \cdot (\frac{3}{2y})^{6/7}$$
ดังนั้น
$$AB \geq 7^{4}$$
อสมการสุดท้าย ก็โดย AM-GM อีกละครับ (ตรงตามที่บอกเลยใช่มิ ไม่เชื่อลองไปอ่านข้างบนดูสิครับ)

ขอบคุณครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

= =" เอ่อ... มันไม่ใช่ยังงั้นครับ ยังงั้นเงื่อนไขสมการจะหายไป คุณควรทำยังงี้
$$A=(1+3x)(1+\frac{8y}{x})=1+3x+\frac{8y}{x}+24y $$
$$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{x}{2})^{6/49} \cdot (\frac{4y}{3x})^{6/49} \cdot (\frac{2y}{3})^{36/49}$$
$$=49 \cdot (\frac{2y}{3})^{6/7}$$
และ
$$B=(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})=1+\frac{9z}{y}+\frac{6}{z}+\frac{54}{y} $$
$$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{3z}{2y})^{6/49} \cdot (\frac{1}{z})^{6/49} \cdot (\frac{3}{2y})^{36/49}$$
$$=49 \cdot (\frac{3}{2y})^{6/7}$$
ดังนั้น
$$AB \geq 7^{4}$$
อสมการสุดท้าย ก็โดย AM-GM อีกละครับ (ตรงตามที่บอกเลยใช่มิ ไม่เชื่อลองไปอ่านข้างบนดูสิครับ)

ภูกต้องนะคร้าบบบ

เก่งมาก นี่ผมมาตรวจให่เองเลยนะนเนี่ย