Own Inequality

[tatari/nightmare]

Let $a,b,c>0$ such that $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=3$
Prove that
$$\sum_{cyc}\dfrac{\sqrt[5]{a}(\sqrt[5]{a^9}-3\sqrt[5]{a^4}bc+5bc)}{\sqrt[3]{3(a^3+b^6+1)(a^3+c^6+1)}}\leq 3$$

Poon.

[RoSe-JoKer]

ไม่ทราบว่าผมเข้าใจตรงไหนผิดไปหรือป่าว?
จาก อสมการ power-mean เราได้ว่า
$(\frac{\sum_{c} a^3}{3})^2\geq (\frac{\sum_{c} a^2}{3})^3$
แต่จากเงื่อนไข $\sum_{c} a^3=\sum_{c} a^2=3$
เราได้ว่าอสมการเป็นสมการ ซึ่งอสมการ power mean จะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ$ a=b=c$ นั้นคือเราได้ว่า $a=b=c=1 $นั้นเอง
แทนค่า $a=b=c=1$ ลงไปในอสมการตั้งต้นจะได้ว่า$ L.H.S=3\leq 3$ เป็นจริงดังต้องการ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

Let $a,b,c>0$ such that $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=3$
Prove that
$$\sum_{cyc}\dfrac{\sqrt[5]{a}(\sqrt[5]{a^9}-3\sqrt[5]{a^4}bc+5bc)}{\sqrt[3]{3(a^3+b^6+1)(a^3+c^6+1)}}\leq 3$$

Poon.

เหนื่อนมากไหมครับคิดก้อนนั้นขึ่นมา