ช่วยทำโจทย์ อสมการ ให้หน่อยครับ

[gools]

(1+a₁)(1+a₂)...(1+a_n)ณ (2ⁿ/(n+1))(1+a₁+a₂...+a_n)
โดยใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

[gools]

ลืมบอกไปครับว่า n เป็นจำนวนนับซึ่งณ2
a_iณ1 สำหรับ i=1,2,3...,n

[nooonuii]

ข้อนี้ยากครับ ต้องว่ากันยาวเลยครับ
Hint ให้นิดหน่อยในขั้นอุปนัย ให้พิสูจน์ว่า
(k + 2)(1 + x)(1 + y) ณ 2(k + 1)(1 + x + y)
เมื่อ x = a₁ + ... + a_k และ y = a_k+1
อาจจะต้องใช้ y ณ 1 และ x ณ k ด้วยครับ

จริงๆมีวิธีพิสูจน์โดยตรงด้วยครับ แต่ก็ต้องใช้อสมการอีกอันนึงมาช่วยด้วย เป็นวิธีพิสูจน์ที่น่าสนใจทีเดียวครับ วิธีนี้จะใช้อสมการ
(1 + x₁)...(1 + x_n) ณ 1 + x₁ + ... + x_n เมื่อ x_i ณ 0 ทุก iลองเอาไปคิดดูครับ

[gon]

ข้อนี้อุปนัยยาวหรือครับ. อย่างกับเคยทำแล้วสั้นไม่รู้ทำไปตอนนั้นผิดหรือเปล่า

ทำตรง ๆ น่าจะ work และเร็วกว่าหรือเปล่า ?. คือพิสูจน์ว่า
[ (1 + a₁)/2 ] [ (1 + a₂)/2 ] [ (1 + a₃)/2 ] ... [ (1 + a_n)/2 ] ณ (1 + a₁ + a₂ + ... + a_n)/(n + 1) แทน

โดยเริ่มจาก [ (1 + a₁)/2 ] [ (1 + a₂)/2 ] [ (1 + a₃)/2 ] ... [ (1 + a_n)/2 ] = [1 + (a₁ - 1)/2 ] [1 + (a₂ - 1)/2 ] ... [1 + (a_n - 1)/2 ] แล้วก็ deduce ไปแบบที่ nooonuii บอกครับ. จากนั้นก็แปลงร่างส่วนไปเป็น .... เพราะมัน obvious ทุก n ณ 2 แล้วก็เล่นพีชคณิตนิดหน่อยก็จบแล้วครับ

[nooonuii]

จริงๆใช้อุปนัยก็ไม่ยาวเท่าไหร่ครับ แต่อาจจะมั่วสัญลักษณ์กับตัวแปรครับ