แก้อสมการข้อนี้ให้หน่อยค่ะ

[kisko]

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงบวกจงแสดงว่า


[(a+b+c)\div 3]^(a+b+c) ≥ {[(b+c)^(a)\times (c+a)^(b)\times (a+b)^(c)]\div 2^(a+b+c)}

[nongtum]

หมายถึงแบบนี้หรือเปล่าครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kisko

กำหนดให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า$$[\frac{a+b+c}{3}]^{a+b+c} \ge [\frac{(b+c)^a(c+a)^b (a+b)^c}{2}]^{a+b+c}$$

[kisko]

ใช่ค่ะ

คิดยังไงหรอคะ คิดไม่ออกสักที คิดมาหลายชั่วโมงแล้ว
รีบมากๆ เพราะว่าต้องส่งพรุ่งนี้แล้ว ช่วยหน่อยนะคะ

แต่ว่า
ทางด้านขวานั้น มีแค่ 2 ที่ยกกำลัง a+b+c

[dektep]

โดย weighted am-gm; $$(b+c)^\frac{a}{a+b+c}(c+a)^\frac{b}{a+b+c}(a+b)^\frac{c}{a+b+c} \le \frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c} \le \frac{2(a+b+c)}{3}$$
ยกกำลัง $a+b+c$ เข้าไป ก็จะได้สิ่งที่ต้องการพิสูจน์ครับ

[kisko]

ขอบคุณค่ะ
แต่ที่ยังทำไม่ได้อยู่นั้นคือ

$$\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c} \le \frac{2(a+b+c)}{3}$$

งงว่าทำไมถึงเป็นแบบนั้นค่ะ ต้องใช้เอกลักษณ์หรือเปล่าคะ

[RoSe-JoKer]

....เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดจาก
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
หรือ
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
หรือ
$\sum_c (a-b)^2\geq 0$