โจทย์ AM-GM

[แบบใหม่]

ให้ $a,b,c \geq 0$ ซึ่ง $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$
จงแสดงว่า
$$\frac{b^{4}+3}{\sqrt{ab}}+\frac{c^{4}+3}{\sqrt{bc}}+\frac{a^{4}+3}{\sqrt{ca}} \geq 12$$
นะครับ


Comment : ผมเห็นว่ามีหนึ่งวิถีทางที่ใช้เจนเซนแล้วจบการพิสูจน์ได้ แต่ยาวน่าดูนักเลยเชียว ซึ่งความจริงมีวิธี AM-GM ง่ายๆอยู่ ลองดูละกันครับ

[dektep]

จริงๆไม่ต้องมีข้อกำหนดนั้นก็ได้นิครับ เพียงแค่ a,b,c \ge 0 ก็เพียงพอ
จาก am-gm; $b^4+3 \ge 4b$
ได้ว่า $LHS \ge \sum_{cyc}\frac{4b}{\sqrt{ab}} \ge 12$

[JanFS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แบบใหม่

ให้ $a,b,c \geq 0$ ซึ่ง $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \geq \frac{3}{2}$
จงแสดงว่า
$$\frac{b^{4}+3}{\sqrt{ab}}+\frac{c^{4}+3}{\sqrt{bc}}+\frac{a^{4}+3}{\sqrt{ca}} \geq 12$$
นะครับ

น่าสนใจนะครับ
ผมลองคิดดูเล่นๆ อสมการต่อไปนี้ก็จริง (ก็ยังง่ายอยู่ล่ะครับ แต่ strong ขึ้นมา)
ให้ $a,b,c > 0$
$$\frac{b^{4}+3}{a+b}+\frac{c^{4}+3}{b+c}+\frac{a^{4}+3}{c+a} \geq \frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}$$

ช่างเป็นความ cyclic ที่น่าพิศวง