อสมการ

[aaaa]

ว้าวคุณ nooonuii นี่เข้าขั้นเซียนด้าน อสมการแล้วนะครับเนี่ย ทำเกือบหมดแล้ว
สำหรับข้อ 1) ต้องพิจารณาผลคูณ
\[
(7-9p)(7-9q)(7-9r)=343-441(p+q+r)+567(pq+qr+rp)-729pqr
\]
และพิสูจน์ว่า
\[
(7-9p)(7-9q)(7-9r)\leq 64
\]
โดยแยกคิดเป็นสองกรณีคือ (1) เมื่อทุกเทอม \( 7-9p,7-9q,7-9r\geq0\) ซึ่งอสมการเป็นผลจาก AM-GM และ (2) อีกกรณีคือมีเทอมเพียงเทอมเดียวที่น้อยกว่าศูนย์ ซึ่งอสมการเป็นจริงเพราะผลคูนน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์

[nooonuii]

โห สุดยอดจริงๆครับ เป็นโจทย์ที่น่ากลัวมากๆ

[nooonuii]

คิดและสร้างโจทย์อสมการคืองานอดิเรกของผมตอนนี้ครับ

9. ให้ a,b,c > 0 โดยที่
\( \large{ a+b^3+c^5 = 3 } \)
จงหาค่าสูงสุดของ a + 3b + 5c

10. กำหนดให้ a,b,c,d>0 โดยที่
\( \large{\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da} = 1} \)
จงพิสูจน์ว่า
\[ \large{ \frac{a^n+b^n+c^n+d^n}{4} \geq 2^n } \]
ทุกจำนวนนับ n

[nooonuii]

11. ให้ a,b,c>0 โดยที่ a + b + c = 1 จงพิสูจน์ว่า
\[ \large{ \frac{a^4}{b^3+c^3} + \frac{b^4}{c^3+a^3} + \frac{c^4}{a^3+b^3} \geq \frac{1}{2} } \]

[gon]

ช่วงนี้ไม่ค่อยจะมีเวลาแต่ก็อยากร่วมสนุกครับ. ผมของลองข้อ 1. BMO 1999 อีกรอบล่ะกัน มาดูวิธีผมบ้าง
เพื่อความคุ้นเคยส่วนตัวขอเปลี่ยนโจทย์เป็น

กำหนดให้ \(a, b, c \geq 0 ,\, a + b + c = 1\) จงพิสูจน์ว่า \(7(ab + bc + ca) \leq 9abc + 2\)

ถ้า \(a + b + c = 1\) แล้วจะได้ว่า
\[a^2 + b^2 + c^2 = -2q + 1, \, a^3 + b^3 + c^3 = -3q + 3r + 1\]
เมื่อ \(q = ab + bc + ca, \, r = abc\)

โดยอสมการ Chebyshev จะได้ว่า

\(a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{1}{3}(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)\)
\(-3q + 3r + 1 \geq \frac{1}{3}(-2q + 1) \Rightarrow 9r + 2 \geq 7q\)
นั่นคือ \(9abc + 2 \geq 7(ab + bc + ca)\)

ทำนองเดียวกันจะได้ว่า
\(3(ab + bc + ca)^2 + 6abc + 1 \geq 5(ab + bc + ca) \)
\(2(ab + bc + ca)^2 + 12abc + 5 \geq 8(ab + bc + ca) \)
แต่ดูแล้วไม่งดงามเอาซะเลย

[nooonuii]

โอ เซียนตัวจริงมาแล้วครับ กำลังรออยู่เลย เป็นวิธีคิดที่สวยมากครับ

[gools]

ขอบคุณที่เตือนครับคุณ aaaa
ข้อ 7 ครับ
\(\begin{array}{rcl}\text{เนื่องจาก }\quad(a+b-1)^{2} & \geq & 0 \\
a^{2}+b^{2}+1-2a-2b+2ab & \geq & 0 \\
2a^{2}+2-4b+2b^{2} & \geq & a^{2}+b^{2}+1+2a-2b-2ab \\
2(a^{2}+(1-b)^{2}) & \geq & (a-b+1)^{2} \\
\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}} & \geq & \frac{(a-b+1)\sqrt{2}}{2} \\
\end{array}
\)
\(
\therefore \qquad \sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}} \geq \frac{(a-b+1)\sqrt{2}}{2}+\frac{(b-c+1)\sqrt{2}}{2}+\frac{(c-a+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\)

[nooonuii]

ข้อ 7 ของน้อง Gool เป็นวิธีคิดที่ดีมากครับ ใช้เฉพาะความรู้พื้นฐานเท่านั้น

[nooonuii]

ข้อ 7 วิธีคิดของผมครับ

ให้
\( \large{ x= a + (1-b)i } \)
\( \large{ y= b + (1-c)i } \)
\( \large{ z= c + (1-a)i } \)
โดย Triangle inequality ของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า
\( \large{ LHS = |x|+|y|+|z| } \)
\( \large{ \geq |x+y+z| } \)
\( \large{ = \sqrt{(a+b+c)^2 + (3-(a+b+c))^2} } \)
\( \large{ \geq \frac{|a+b+c|+|3-(a+b+c)|}{\sqrt{2}} } \)
\( \large{ \geq \frac{|(a+b+c)+(3-(a+b+c))|}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} } \)

อสมการในบรรทัดที่สี่มาจาก \( \large{ m+n \leq \sqrt{2(m^2 + n^2)} } \)

[aaaa]

ข้อ 9) ได้ว่า
\[
9=a+(1+1+b^3)+(1+1+1+1+c^5)\geq a+3\sqrt[3]{b^3}+5\sqrt{c^5}=a+3b+5c
\]
โดยเท่ากับก็ต่อเมื่อ \( a=b=c=1 \)

[aaaa]

ข้อ 10) ใช้ AM-GM กับเงื่อนไขโจทย์ได้ว่า \( abcd\geq16 \)
และใช้อสมการ AM-GM อีกรอบได้
\[
\frac{a^n+b^n+c^n+d^n}{4}\geq\sqrt[4]{(abcd)^n}\geq2^n
\]

[nooonuii]

12. ให้ \( x\in (0,\pi/2) \)
จงพิสูจน์ว่า \( \large{ \sin{2x} \geq (\tan{x})^{\cos{2x}} } \)
13. ให้ a,b,c >0 จงพิสูจน์ว่า
\[ \large{ \sqrt[3]{a^3+b^3+c^3} < \sqrt{a^2+b^2+c^2} } \]
14. ให้ a,b,c>0 โดยที่ a+b+c = 1 จงพิสูจน์ว่า
\[ \large{ \frac{2}{3} \leq \frac{\ln{(a^5+b^5+c^5)}}{\ln{(a^7+b^7+c^7)}} \leq \frac{5}{7} } \]

[gools]

ข้อ 13 ครับ
\(\begin{array}{rcl}\text{เนื่องจาก } a^{2}+b^{2}+c^{2} & > & a^{2},b^{2}\text{ และ }c^{2} \\
\text{ดังนั้น }\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} & > & a,b\text{ และ }c \\
\text{จะได้ว่า }(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{3} & = & (a^{2}+b^{2}+c^{2})\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \\
& = & a^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+b^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+c^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \\
& > & a^{2}\times a+b^{2}\times b+c^{2}\times c \\
& = & a^{3}+b^{3}+c^{3} \\
\text{ดังนั้น }\qquad \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} & > & \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+c^{3}}
\end{array}\)

[gools]

ข้อ 11 ครับ
ให้ \(\quad a\geq b\geq c\quad \) โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราจะได้ว่า\(\quad a^{4}\geq b^{4}\geq c^{4}\quad\)และ\(\quad\frac{1}{b^{3}+c^{3}}\geq\frac{1}{c^{3}+a^{3}}\geq\frac{1}{a^{3}+b^{3}}\)
โดยอสมการ chebychev จะได้ว่า
\[
\begin{array}{rcl} \frac{a^{4}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b^{4}}{c^{3}+a^{3}}+\frac{c^{4}}{a^{3}+b^{3}} & \geq & \frac{1}{3}(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{1}{b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}}+\frac{1}{a^{3}+b^{3}}) \\
& \geq & \frac{1}{3}(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{9}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}) \\
\text{และเนื่องจาก }\qquad a^{4}+b^{4}+c^{4} & \geq & \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \\
\therefore\qquad \frac{1}{3}(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{9}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}) & \geq & (\frac{1}{3})(\frac{1}{3})(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{9}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}) \\
& = & \frac{1}{2}
\end{array}
\]

[gools]

ข้อ 15.
\(\text{ ให้ }a,b,c \geq 0 \text{ จงพิสูจน์ว่า }
\)
\[\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1\]