A very hard inequality

[Punk]

ให้ \( x,y,z>0 \) จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{1}{x(1+y)}+\frac{1}{y(1+z)}+\frac{1}{z(1+x)}\geq\frac{3}{1+xyz} \]

[nooonuii]

The solution from E.J.Barbeau's book, Polynomials:

xy(y+1)(zx-1)² + yz(z+1)(xy-1)² + zx(x+1)(yz-1)² ณ 0

[Punk]

ครับผม แต่อยากให้ลองคิดกันดูนะ

[nooonuii]

กำลังคิดวิธีพิสูจน์โดยใช้อสมการสำเร็จรูปอยู่ครับ หวังว่าคงไม่เอามาจากหนังสือเล่มเดียวกันนะครับพี่ Punk

[Punk]

ใช่แล้วครับ แต่ผมพยายามคิดเองมาหลายวันแล้ว ยังคิดไม่ออกเลย
ปล ผมมีหนังสือเล่มนี้ version online ด้วยละ

[gon]

ขยันหาหนังสือมาอ่านกันดีนะครับ. ถ้า Nooonuii ไม่บอกก็ไม่รู้นะนี่ มีหนังสือ Problem Book อะไรดี ๆ น่าอ่านก็บอกกันอีกนะครับ.

ข้อนี้ผมก็ลองคิดดูบ้างแล้วครับ. เห็นปัญหามันอยู่ 2 จุด กำลังรอจินตนาการดี ๆ อยู่ ไม่รู้ว่าจะลอยลงมาบ้างไหน. อย่างที่เขาเริ่มจากอสมการที่ nooonuii เขียนไว้ ผมว่ามันเกินจินตนาการอยู่นะ คล้าย ๆ schur อะไรนี่หรือเปล่าเลย.

[nooonuii]

ขออภัยครับ ดูโจทย์ผิดนี่เอง

[warut]

ผมว่าถ้าให้ x = y = z ควรจะได้อสมการ x³ - x² - x + 1 = (x - 1)²(x + 1) ณ 0 นะครับ
ซึ่งก็เป็นจริงสำหรับทุก x > 0

[gools]

ยังไม่ได้เลยครับ
หนังสือ version online ได้มาจากไหนครับ ช่วยบอกหน่อย

[Punk]

ขอให้ติดต่อผมโดยตรงนะครับ จะส่งไปให้ ไม่สามารถนำมา post ได้เพราะมันผิดกฎหมายครับ

[gools]

ส่งข้อความส่วนตัวไปให้แล้วนะครับ

[gools]

ได้แล้วครับ ยากมากๆๆๆๆ (ผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ)

คลิกที่นี่เพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้

ให้ \(xyz=1\) เราจะต้องพิสูจน์ว่า
\[
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{x(1+y)}+\frac{1}{y(1+z)}+\frac{1}{z(1+x)} &\geq& \frac{3}{2} \\
&& \\
2[xy(1+y)(1+z)+yz(1+z)(1+x)+zx(1+x)(1+y)] &\geq& 3(1+x)(1+y)(1+z) \\
&& \\
2[xy(y+z+yz+1)+yz(z+x+zx+1)+zx(x+y+xy+1)] &\geq& 3(1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz) \\
&& \\
2(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}+x+y+z+xy+yz+zx+3) &\geq& 3(2+x+y+z+xy+yz+zx) \\
&& \\
2xy^{2}+2yz^{2}+2zx^{2}-(x+y+z+xy+yz+zx) &\geq& 0 \\
&& \\
2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})-(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) &\geq& 0 \\
&& \\
\frac{x-1}{y}+\frac{y-1}{z}+\frac{z-1}{x}+\frac{z(1-x)}{x}+\frac{x(1-y)}{y}+\frac{y(1-z)}{z} &\geq& 0 \\
&& \\
z(x-1)(x-\frac{1}{x})+x(y-1)(y-\frac{1}{y})+y(z-1)(z-\frac{1}{z}) &\geq& 0 \\
&& \\
\frac{z(x+1)(x-1)^{2}}{x}+\frac{x(y+1)(y-1)^{2}}{y}+\frac{y(z+1)(z-1)^{2}}{z} &\geq& 0
\end{array}
\]
เนื่องจาก \((x-1)^{2},(y-1)^{2},(z-1)^{2}\) มากกว่าหรือเท่ากับ \(0\) ทุกจำนวนจริงบวก \(x,y,z\)
เพราะฉะนั้นจะได้ว่าอสมการเป็นจริงครับ

[gon]

อืม. มันไม่ Homogeneous เราสามารถ normalize แบบนี้ได้หรือครับ.

[gools]

จริงด้วยครับ มันไม่ homogeneous นี่