อสมการอีกแล้วครับทั่น

[nooonuii]

อสมการนี้อาจจะไม่ใหม่สำหรับบางคนครับ แต่ผมเพิ่งคิดวิธีพิสูจน์สวยๆได้เลยเอามาถามดูครับ

ให้ a,b,c ณ 0 จงพิสูจน์ว่า

\[ \Large{a^2b+b^2c+c^2a \leq ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq a^3 + b^3 + c^3} \]

อสมการแรกไม่จริงอย่างที่คุณ Punk แสดงตัวอย่างค้านไว้ครับ ขอแก้ใหม่ดังนี้

\[ \Large{\text{max}\{ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2 + bc^2 + ca^2 \} \leq a^3 + b^3 + c^3} \]

[Punk]

อสมการซ้ายมือไม่จริงครับ เช่น a=2,b=1,c=0 อสมการขวามือเป็นผลจาก rearrangement inequality

[nooonuii]

ขอบคุณมากครับที่ช่วยท้วงติง เป็นความผิดพลาดของผมเองครับ คิดผิดนั่นเอง(สงสัยจะเมา ) แก้โจทย์ใหม่ให้แล้วครับ ปัญหานี้ใช้ rearrangement inequality จะง่ายมากครับ แต่ผมพิสูจน์โดยใช้อสมการโคชีดังนี้

พิสูจน์

\[ \Large{ (ab^2 + bc^2 + ca^2)^2 = [ (a \sqrt{b})( \sqrt{b^3}) + (b \sqrt{c})( \sqrt{c^3}) + (c \sqrt{a})( \sqrt{a^3}) ]^2 \leq (a^2b + b^2c + c^2a)(a^3 + b^3 + c^3) } \]
\[ \Large{ (a^2b + b^2c + c^2a)^2 = [ (b\sqrt{a})( \sqrt{a^3}) + ( c\sqrt{b})( \sqrt{b^3}) + ( a\sqrt{c})( \sqrt{c^3}) ]^2 \leq (ab^2 + bc^2 + ca^2)(a^3 + b^3 + c^3) } \]
\[ \Large{ (ab^2 + bc^2 + ca^2)^2 \leq (ab^2 + bc^2 + ca^2)^{1/2}(a^3 + b^3 + c^3)^{3/2} } \]
จัดรูปจะได้อสมการตามต้องการ อีกอสมการก็ทำแบบเดียวกันครับ

[Punk]

สวยงามมาก คล้ายๆการพิสูจน์ Sobolev inequality เลยนะเนี่ย เยี่ยมครับ

[nooonuii]

เอ่อ sobolev inequality หน้าตาเป็นไงครับ เป็น integral inequality รึปล่าวครับ ฟังชื่อแล้วน่าจะไปทางนั้น