ช่วยแสดงข้อนี้ให้ดูทีครับ (Modern Algebra)

[เรียวคุง]

ให้ K= {e,(1 2)(3 4),(1 4)(3 2),(1 3)(2 4)}
1. จงแสดงว่า K เป็นกลุ่มย่อยอันดับ 4 เพียงกลุ่มเดียวของ A4 (A ห้อยด้วย 4 - -")
2. จงแสดงว่า K เป็นกลุ่มย่อยปกติของ A4

[warut]

ขอตอบเป็นภาษาอังกฤษเพื่อการฝึกหัดของตัวผมเองบ้างนะครับ

1. Any subgroup of order 4 of $A_4$ cannot contain a cycle of length 3 (since $3 \! \not| \, 4$). There are just 4 elements of $A_4$ that are not 3-cycle, namely: $e, (1 2)(3 4), (1 4)(3 2), (1 3)(2 4), $ and these 4 elements form a subgroup of $A_4$. Therefore, this is the only subgroup of order 4 of $A_4$.

[nooonuii]

2. Use the fact that any conjugate of K is isomorphic to K. Since K is finite and K is the only subgroup of $A_4$ of order 4, we can conclude that any conjugate of K is K itself. This means that K is a normal subgroup of $A_4$.

[เรียวคุง]

ขอบคุณสำหรับคำตอบครับ แต่ข้อ 1 ผมอ่านแล้วไม่เคลียร์(หรือว่าผมแปลผิด) กรุณาช่วยอธิบายเพิ่มอีกนิดให้ทีนะครับ พร้อมทบ. รองรับด้วย ขอบพระคุณอย่างยิ่ง