limit แคลคูลัส

[-[B]a$ic'z~*]

$$ \lim_{x \to \ 0}\frac{x^2 -2+2cosx }{x^4} $$

ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูทีครับ โดยห้ามใช้โลปิตาล

[poper]

ตัวส่วนเป็น $x^4$ เหรอครับ ถ้างั้นก็ลู่ออกสู่ $\infty$ ครับ
แต่ถ้าส่วนเป็น $x^2$ จะได้ $4$ ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ตัวส่วนเป็น $x^4$ เหรอครับ ถ้างั้นก็ลู่ออกสู่ $\infty$ ครับ

เป็น 1/12 ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

แต่ถ้าส่วนเป็น $x^2$ จะได้ $4$ ครับ

เป็น 0 ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เป็น 0 ครับ

ขอบคุณครับ ผมคิดผิดไปครับ
แต่ส่วนเป็น $x^4$ ยังคิดไม่ออกครับ

[Jade1209]

โทษครับๆ ลืมไปห้ามใช้โลปิตาล

[Pain 7th]

ลงเช็คให้หน่อยได้ไหมครับผมกด wolfram ได้ $\dfrac{1}{12}$ แต่ผมทำแล้วมันไม่ได้อ่ะ

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2-2+2\cos x}{x^4} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}-\lim_{x \to 0} \dfrac{2-2\cos x}{x^4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}-\lim_{x \to 0} \dfrac{4\sin^2 \frac{x}{2}}{x^4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}-\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}$

ได้ 0 อ่ะครับ ใครช่วยเฉลยให้หน่อยได้ไหมครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

รู้จักอนุกรมตัวนี้ไหมครับ
ถ้ารู้จักก็น่าจะทำได้แล้วล่ะครับ
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

รู้จักอนุกรมตัวนี้ไหมครับ
ถ้ารู้จักก็น่าจะทำได้แล้วล่ะครับ
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ

ทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[poper]

$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
$$lim_{x\to 0}\frac{x^2-2+2cosx}{x^4}=lim_{x\to 0}\frac{x^2-2(1-cosx)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{x^2-2(1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}-...)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{(\frac{2x^4}{4!}-\frac{2x^6}{6!}+...)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}(\frac{2}{4!}-\frac{2x^2}{6!}+...)=\frac{2}{4!}=\frac{1}{12}$$

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
$$lim_{x\to 0}\frac{x^2-2+2cosx}{x^4}=lim_{x\to 0}\frac{x^2-2(1-cosx)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{x^2-2(1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}-...)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{(\frac{2x^4}{4!}-\frac{2x^6}{6!}+...)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}(\frac{2}{4!}-\frac{2x^2}{6!}+...)=\frac{2}{4!}=\frac{1}{12}$$

ขอบคุณมากๆครับ แล้วถ้าอย่างโลปิตาล(คืออะไร) ทำอย่างไรหรอครับ

[poper]

โลปิตาล หรือ $L'hopital's \ \ Rule$ ก็คือการดิฟทั้งเศษและส่วนไปเรื่อยๆจนสามารถแทนค่าได้ครับ
เช่นข้อนี้ ถ้าใช้โลปิตาลจะได้แบบนี้ครับ
$$lim_{x\to 0}\frac{2x-2sinx}{4x^3}=lim_{x\to 0}\frac{2-2cosx}{12x^2}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{2sinx}{24x}=lim_{x\to 0}\frac{2cosx}{24}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$$ ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ลงเช็คให้หน่อยได้ไหมครับผมกด wolfram ได้ $\dfrac{1}{12}$ แต่ผมทำแล้วมันไม่ได้อ่ะ

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2-2+2\cos x}{x^4} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}-\lim_{x \to 0} \dfrac{2-2\cos x}{x^4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}-\lim_{x \to 0} \dfrac{4\sin^2 \frac{x}{2}}{x^4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}-\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}$

ได้ 0 อ่ะครับ ใครช่วยเฉลยให้หน่อยได้ไหมครับ

แยกเป็นแบบนี้ไม่ได้ครับ ถ้าจะแยกเป็นผลต่างของสองก้อน แต่ละก้อนจะต้องมีหาลิมิตได้หรือลู่เข้า แต่ถ้าลู่ออกทั้งคู่คือ $\infty - \infty$ แบบนี้ใช้ไม่ได้ เป็น indeterminate form ซึ่งจะต้องจัดให้อยู่ในรูป $\frac{0}{0}$ หรือ $\frac{\infty}{\infty}$ ก่อน (ถ้าจะใช้โลปิตาล)

สำหรับกฎของโลปิตาลคือ $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} = ...$

[polsk133]

โลปิตาล ใช้แสดงวิธีทำใน ม.ปลาย ได้ไหมครับ / โลปิตาล มีข้อห้ามอะไรไหมครับ
ความรู้สึกส่วนตัวคือ มันลัดมากๆครับ

[เทพเวียนเกิด]

โลปิตาล ห้ามใช้กับสมการที่ Determinate อยู่เเล้วครับ ก็มีข้อห้ามเเค่นี้ครับ