ช่วยแสดงการพิสูจน์ข้อนี้ให้ดูหน่อยค่ะ (กำลังสองสมบูรณ์)

[infinity55]

จงแสดงว่าผลคูณของจำนวนนับ 3 จำนวนที่เรียงกันไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[gon]

ช่วงนี้ดูเหมือนมีแต่คำถามจากโจทย์เก่า ๆ วิชาทฤษฎีจำนวนจากโจทย์สอวน. TMO ครั้งต่าง ๆ เข้ามาถามเรื่อย ๆ

รวมข้อสอบแข่งขัน ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

วิธีการที่ควรทำก่อนก็คือ เข้าไปในอ่านหัวข้อคำถามนั้น ๆ ซึ่งส่วนมากแล้วน่าจะมีคำตอบหรือแนวคิดอยู่เยอะนะครับ

อย่างข้อนี้ 3rd TMO 2549 ที่ ม.นเรศวร น้อง Tummy เขียน Hint ไว้ว่า ให้ใช้ ห.ร.ม.

Solution

สมมติให้ $(n-1)n(n+1) = m^2$ เมื่อ $n \ge 2$
ดังนั้น $n(n^2-1) = m^2$
แต่เนื่องจาก $gcd(n, n^2-1) = 1$ (พิสูจน์เอง) ดังนั้นแสดงว่า $n$ กับ $n^2-1$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ซึ่งกันและกัน ทำให้ได้ว่าผลคูณจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ แต่ละตัวคือ $n$ กับ $n^2-1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
แต่เห็นได้ชัดว่า $n^2-1$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เพราะอยู่ระหว่างกำลังสองของจำนวนเต็มที่ต่อกัน $(n-1)^2 < n^2-1 < n^2$ เกิดข้อขัดแย้ง