หาจำนวนเต็มบวก a ที่น้อยที่สุด ช่วยแก้โจทย์ number theory ให้หน่อยค่ะ

[pinkysupa]

จงหาจำนวนเต็มบวก a ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 1971|($50^n+a∙23^n$) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวกคี่ n

[Amankris]

แยกตัวประกอบ 1971 ก็น่าจะทำอะไรได้บ้างนะครับ

[nongtum]

Solution Sketch (เติมรายละเอียดที่ผมข้ามเองนะครับ)

เนื่องจาก $1971=3^3\cdot 73$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ดังนั้นจะได้
$(73-23)^n+a\cdot23^n\equiv (a-1)23^n\pmod{73}$ และ $(27+23)^n+a\cdot23^n\equiv (a+1)23^n\pmod{27}$
ดังนั้น $27\mid (a+1)$ และ $73\mid (a-1)$
ทำให้มีจำนวนเต็ม $k$ ที่ $73k+2\equiv -2(4k-1)\equiv 0\pmod{27}$
นั่นคือ $k=7$ และ $a=512$

[pinkysupa]

ขอบคุณมาก นะคะ ^^

ช่วยอธิบายให้ฟังหน่อยได้มั้ยคะ ขอบคุณล่วงหน้านะคะ -/|\-

[nongtum]

＃4
ลองทดตาม หรือทดเองก่อนถามมาเป็นจุดๆจะดีกว่าไหมครับ

(ขอบคุณได้เจ็ดนาที ถามแล้ว แปลว่าอ่านแล้วยังไม่ได้ทดตามแน่ๆ)