หาจำนวนเต็มคู่ n ทั้งหมด อธิบายโจทย์ข้อนี้ให้หน่อยค่ะ

[13akuman]

โจทย์ จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ n กี่จำนวนซึ่ง $0\leqslant n\leqslant$ 100 และ $5\mid (n^2*2^2n^2+1)$

ไปหาได้มาแบบนี้ค่ะ แต่ไม่เข้าใจ ช่วยอธิบายหน่อยนะค่ะ
ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ $n^2≡±1(mod 5) และ 2{^2}{n^2}=4n^2≡1(mod 5)$
ดังนั้น พจน์ที่โจทย์ให้มาจะหารห้าลงตัว เมื่อ n^2≡−1 หรือ n=2,8,12,18,...,98 รวมทั้งหมด 20 ตัว

ขอบคุณล่วงหน้านะค่ะ ^^

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ 13akuman

โจทย์ จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ $n$ กี่จำนวนซึ่ง $0\leqslant n\leqslant 100$ และ $5\mid (n^22^{2n^2}+1)$

ไปหาได้มาแบบนี้ค่ะ แต่ไม่เข้าใจ ช่วยอธิบายหน่อยนะค่ะ

ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ $n^2\equiv \pm1\pmod{5}$ และ $2^{2n^2}=4n^2\equiv1\pmod{5}$
ดังนั้น พจน์ที่โจทย์ให้มาจะหารห้าลงตัว เมื่อ $n^2\equiv −1$ หรือ $n=2,8,12,18,...,98$ รวมทั้งหมด 20 ตัว

ขอบคุณล่วงหน้านะค่ะ ^^

ก่อนจะอธิบาย ขอเจ้าของกระทู้ช่วยเช็คหน่อยว่าต้องการจะพิมพ์แบบที่แก้ด้านบนหรือเปล่าครับ

[13akuman]

ใช่ค่ะ ช่วยอธิบายหน่อยนะค่ะ

[nongtum]

ลองแกะวิธีทำตามนี้นะครับ

1. เช็คว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนที่ไม่ลงท้ายด้วยศูนย์ยกกำลังสองแล้วหารด้วย 5 ได้เศษ 1 หรือ 4
ตอนทดจริงลองแค่ 2,4,6,8 ก็พอ (ทำไม)
ตรงนี้จะได้ $n^2\equiv \pm1\pmod{5}$

2. ทำไม $2^{2n^2}\equiv (2^2)^{n^2}\equiv (-1)^{\text{เลขคู่}}\equiv 1\pmod{5}$
(ที่จริงตรงนี้ผมพิมพ์แก้ผิด แต่เจ้าของกระทู้ไม่ยักจะแย้ง)

3. จาก $n^22^{2n^2}\equiv 1\cdot \pm1\pmod{5}$
เมื่อบวก 1 ใน mod 5 ทั้งสองข้าง เทอมที่ได้จะหารลงตัวด้วยห้าเมื่อใด

4. ใช้ที่แจงไว้ในข้อ 1. มาสรุปคำตอบ

[จูกัดเหลียง]

$n^2\equiv \pm 1\pmod5$ อยู่เเล้วใช่ป่าวอ่ะครับ
เเล้วก็ให้ $2n^2=4k$ เพราะ $n$ เป็นเลขคู่
จาก ทฤษฎีบทเล็กของเเฟร์มาต์ $2^4\equiv 1\pmod5 \rightarrow 2^{4k}=2^{2n^2}\equiv 1\pmod5$
นั่นคือ $n^22^{2n^2}+1 \equiv 0,2\pmod5$ $n=2,8,16,...,98$ ตามเฉลยครับ

[13akuman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ลองแกะวิธีทำตามนี้นะครับ

1. เช็คว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนที่ไม่ลงท้ายด้วยศูนย์ยกกำลังสองแล้วหารด้วย 5 ได้เศษ 1 หรือ 4
ตอนทดจริงลองแค่ 2,4,6,8 ก็พอ (ทำไม)
ตรงนี้จะได้ $n^2\equiv \pm1\pmod{5}$

2. ทำไม $2^{2n^2}\equiv (2^2)^{n^2}\equiv (-1)^{\text{เลขคู่}}\equiv 1\pmod{5}$
(ที่จริงตรงนี้ผมพิมพ์แก้ผิด แต่เจ้าของกระทู้ไม่ยักจะแย้ง)

3. จาก $n^22^{2n^2}\equiv 1\cdot \pm1\pmod{5}$
เมื่อบวก 1 ใน mod 5 ทั้งสองข้าง เทอมที่ได้จะหารลงตัวด้วยห้าเมื่อใด

4. ใช้ที่แจงไว้ในข้อ 1. มาสรุปคำตอบ

ในข้อ 1 ทำไมถึงใช้จำนวนที่ลงท้ายด้วยศูนย์ไม่ได้ค่ะ

[nongtum]

＃6
ถ้าลงท้ายด้วยศูนย์ แปลว่าตัวนั้นหารด้วย 5 ลงตัว เทอมที่โจทย์ให้มาก็จะหารด้วย 5 ไม่ลงตัวครับ