จำนวนคู่อันดับ (m, n) วานผู้รู้ช่วยดูโจทย์ข้อนี้หน่อยครับ

[amaze-man]

จงหาคู่อันดับของจำนวนนับ$(m,n)$ทั้งหมดที่ $m^3 + n^3 = (m+n)^2$

[nooonuii]

$(m+n)(m^2-mn+n^2)-(m+n)^2=0$

$(m+n)(m^2-mn+n^2-m-n)=0$

$m=-n$ หรือ $m^2-mn+n^2-m-n=0$

$m^2-mn+n^2-m-n=0$

$m^2-(n+1)m+n^2-n=0$

$4m^2-4(n+1)m+4n^2-4n=0$

$4m^2-4(n+1)m+(n+1)^2-(n+1)^2+4n^2-4n=0$

$(2m-n-1)^2+3n^2-6n-1=0$

$(2m-n-1)^2+3n^2-6n+3-4=0$

$(2m-n-1)^2+3(n-1)^2=4$

ดังนั้น

$n=0,1,2$

จึงได้

$(m,n)=(t,-t),(0,1),(1,0),(2,1),(1,2),(2,2);t\in\mathbb{Z}$

[poper]

ผมทำแบบนี้ครับ
$(m+n)(m^2-mn+n^2)-(m+n)^2=0$
$(m+n)(m^2-mn-m-n+n^2)=0$
$(I); m=-n$ ดังนั้น จะมีค่าหนึ่งที่ไม่ใช่จำนวนนับ
$(II);m^2-mn-m-n+n^2=0$
$(m+n)^2-(m+n)-3mn=0$
$(m+n)(m+n-1)=3mn$ ให้ $m+n=A$
$mn=\frac{A(A-1)}{3}$
เนื่องจาก $mn$ เป็นจำนวนนับ ดังนั้น
$A=3,4,7,9,...$
$A=3,mn=2--->(2,1),(1,2)$
$A=4,mn=4--->(2,2)$
นอกนั้นไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น $(m,n)=(1,2),(2,1),(2,2)$

[amaze-man]

ขอบคุณทั้งสองท่านมากเลยนะครับ ผมขอคาราวะจากใจริง

[mooaoun]

สองท่านนั้นเจ๋งมากครับ

[Keehlzver]

โจทย์ข้อนี้อยู่ในหนังสือ 101 Algebra ของ Titu Andresscu ครับลองไปค้นๆดูนะ