พิสูจน์ x^n +y^n = (x+y)^m help me please

[Tohn]

1. จงพิสูจน์ว่า $x^n+y^n=(x+y)^m$ มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับ $x>y,m>1,n>1$
2. ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ที่ $n \mid 2^n+1$ แล้ว $n=3$ หรือ $9 \mid n$

[Keehlzver]

เผอิญว่าข้อ 2 ผมดันมีเฉลย อยู่ในหนังสือชื่อ 250 problem in Number theory

วิธีทำก็อุปนัยเอาบน $k$ เมื่อ $n=3^k$ ขั้นฐาน $n=3$ มัน obvious ขึ้นอุปนัยสมมติ $3^k\mid 2^{3^k}+1$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k}+1)(2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1)$
แล้วพิจารณาต่อไปว่าก้อนหลังมันคือ $(2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1)=4^{3^k}+2-(2^{3^k}+1)$
จากการที่ $3$ มันหาร $4^{3^k}$ เหลือเศษ 1 เราจะได้ว่า $3\mid 4^{3^k}+2-(2^{3^k}+1)$

ดังนั้นจาก $3\mid(2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1)$ และ $3^k\mid (2^{3^k}+1)$ โดยสมมติฐานของการอุปนัย เพราะฉะนั้น $3^{k+1}\mid (2^{3^k}+1)(2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1)$ หรือ $3^{k+1}\mid 2^{3^{k+1}}+1$ จบแล้วครับ

ส่วนข้อ 1 เชิญเซียนครับ

[Tohn]

ขอบคุณมากๆเลยครับ สำหรับวิธีคิดข้อ2 ตอนนี่ก็ยังคิดข้อ1 ไม่ออกเลย TT ไม่รู้จะเริ่มยังไงดี

[Amankris]

ข้อแรกไม่จริงนี่ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tohn

1. จงพิสูจน์ว่า $x^n+y^n=(x+y)^m$ มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับ $x>y,m>1,n>1$

ยังพิสูจน์ไม่ได้หรอกครับ แต่สงสัยโจทย์

ทำไมต้องกำหนด $x>y$

ถ้า .. ถ้า $x>y$ ทำให้มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเพียงชุดเดียว แล้ว ...

$ y > x $ จะไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเพียงชุดเดียว หรือครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ยังพิสูจน์ไม่ได้หรอกครับ แต่สงสัยโจทย์

ทำไมต้องกำหนด $x>y$

ถ้า .. ถ้า $x>y$ ทำให้มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเพียงชุดเดียว แล้ว ...

$ y > x $ จะไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเพียงชุดเดียว หรือครับ

ก็ถ้าไม่กำหนด มันจะได้สองคำตอบไงคับๆ, (x,y)=(a,b),(b,a)

แต่ถ้าดูตามโจทย์ก็ไม่จริงนี่ครับ อย่างเช่น x=0, m=n=2, y ก็จะเป็นจำนวนเต็มลบอะไรก็ได้นี่ คำตอบก็มีเป็นอนันต์แล้ว