หาเศษจากการหารด้วย 13 ช่วยแนะนำโจทย์ข้อนี้หน่อยค่ะ

[shong]

ให้ $p_{n}$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ n จงหาเศษจากการหาร $\prod_{n = 1}^{2549} 2006^{p_{n}^{2} - 1}$ ด้วย 13

ช่วยแนะหน่อยนะค่ะ

ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

[Amankris]

$\phi(13)=12$

กว้างไปมะ

[13akuman]

ช่วยบอกวิธีคิดหน่อยได้ไหมฮะ

[จูกัดเหลียง]

$$2006^4 \equiv -1\pmod {13} ...(*)$$
เเละ $$\pi_{n=1}^{2554} 2006^{p_n^2-1}=2006^{(p_1^2+p_2^2+...+p_n^2)-n}$$
ให้ $$p_1=2,p_2=2k_1+1,p_3=2k_2+1,...p_n=2k_n+1$$
พิจารณา $$(p_1^2+p_2^2+...+p_n^2)-n = (2)^2+(2k_1+1)^2+...+(2k_n+1)^2$$
$$=4(k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637)+3$$
เเละ $$2\mid {k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-636}$$
$$ \therefore k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637 $$ เป็นเลขคี่
จาก $(*)$ $$2006^{4(k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637)}\equiv -1 \pmod{13}$$
$$\rightarrow 2006^{4(k_1(k_1+1)+k_2(k_2+1)+...+k_n(k_n+1)-637)+3}\equiv -12\equiv 1 \pmod {13}$$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shong

ให้ $p_{n}$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ n จงหาเศษจากการหาร $\prod_{n = 1}^{2549} 2006^{p_{n}^{2} - 1}$ ด้วย 13

ช่วยแนะหน่อยนะค่ะ

ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$2006^{\phi (13)}\equiv 1 \pmod {13}$
$2006^{12}\equiv 1\pmod {13} \rightarrow 2006^{24}\equiv 1 \pmod {13}$
$\rightarrow 13\mid 2006^{24}-1$
เพราะฉะนั้น เศษจึงเป็น $0$

ในโจทย์มัน $\prod_{n = 1}^{2549} 2006^{p_{n}^{2} - 1}$ ไม่ใช่หรอครับ ไม่ใช่ $\prod_{n = 1}^{2549} 2006^{p_{n}^{2} - 1}-1$

[shong]

คุณ Metamorphosis โจทย์ถูกแล้วค่ะ

ขอบคุณ คุณ Amankris และ คุณ จูกัดเหลียง มากค่ะ

[Metamorphosis]

-*- ไปดูที่ผมลิ้งค์ให้ดีๆก่อนนะครับ http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1304&page=2

[จูกัดเหลียง]

คือ ทำผิดอ่ะครับ ขอเเก้ตัวอีกครั้ง 555
จากทฤษฎีบทเล็กของเเฟมาต์ $2006^{12}\equiv 1 \pmod {13}$
เเละ $$\Pi_{n=1}^{2549}=2006^{(p_1^2+p_2^2+...+p_{2549}^2)-2549}$$
$$=2006^{3+4(1\cdot2+2\cdot3+...+2548\cdot2549)}$$
$$=2006^{3+2548\cdot 2549\cdot 3400}$$
เเละ $3+2548\cdot 2549\cdot 3400$ หารด้วย $12$ เหลือเศษ $4$
จึงได้ว่า $12k+4=2548\cdot 2549\cdot 3400$ เเละจากเเฟร์มาต์
$$2006^{2548\cdot 2549\cdot 3400}=2006^{12k+4}\equiv 8\pmod {13}$$

[shong]

ทำไม เราคิดได้ 10 ?