โจทย์ของคนมีระดับ

[TOP]

อีกไม่นานก็จะเปิดเทอมกันแล้ว ลองเอาโจทย์ 3 ข้อไปคิดกัน (คงจะช่วยให้ ใช้เวลาว่างที่เหลืออยู่ก่อนเปิดเทอม หมดไปได้ )

1) กำหนดให้ n,k ฮ I⁺ โดยที่ 50 < k < 500 จงหา n,k ที่ทำให้
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n+1) + (n+2) + ... + k
(หากไม่จำกัดช่วงของค่า k ถ้าสามารถหารูปแบบของ n,k ทั้งหมดมาได้จะดีมาก (ในอดีตเคยมีผู้แก้ปัญหาได้ถึงระดับนี้ในเวลาไม่เกิน 1-2 นาที คือตอนแก้ปัญหา เขาไม่สนใจช่วงของค่า k เลย มุ่งแก้ทุกรูปแบบ ))

2) sqrt(1 + 2sqrt(1 + 3sqrt(1 + 4sqrt(1 + 5sqrt(1 + ...))))) converge หรือ diverge จงอธิบาย ? ถ้า converge ให้คำนวณค่า ออกมา ?

3) จงพิสูจน์ว่า
x + n + a = sqrt[a(x) + (n+a)² + (x)sqrt[a(x+n) + (n+a)² + (x+n)sqrt[a(x+2n) + (n+a)² + (x+2n)sqrt[ ... ]]]]
ข้อนี้แถมมาให้สำหรับใช้ช่วยตรวจคำตอบในข้อ 2)

[Catt]

ต่อไปคงไม่ค่อยได้เล่นเนทแล้วเลยเฉลยละเอียดสักข้อก็แล้วกัน ขอทำเป็น k ใดๆล่ะกัน
1 จากโจทย์จะได้ว่า n(n-1) = (n+k+1)(k-n)
ดังนั้นกระจายแล้วจัดรูปได้ (2k+1)^2 - 2(2n)^2 = 1
ให้ 2k+1=x ,2n=y for some x,y then
x^2 - 2y^2 = 1 (Pell Equation)
and x=2,y=1 เป็นตำตอบที่เล็กที่สุด
ดังนั้นคำตอบทั้งหมดจะอยู่ในรูป
x_t + (sqrt2)y_t = (2 + sqrt2)^t
x_t - (sqrt2)y_t = (2 - sqrt2)^t
โดยที่ x_t, y_t เป็นคำตอบของสมการ และ t = 1,2,3,...
ดังนั้น x_t = ((2 + sqrt2)^t + (2 - sqrt2)^t)/2
y_t = ((2 + sqrt2)^t - (2 - sqrt2)^t)/2(sqrt2)

จึงได้ว่า k=((2 + sqrt2)^t + (2 - sqrt2)^t - 2)/4
n=((2 + sqrt2)^t - (2 - sqrt2)^t)/4(sqrt2)
โดย t = 1,2,3,...
ส่วนถ้าต้องการ 50 < k < 500 ก็ใช้เงื่อนไขนี้กำหนดค่า t แล้วคำตอบที่ต้องการก็ยังอยู่ในรูปเดิม เพียงแต่เปลี่ยนตรงที่ t = 1,2,3,... เท่านั้น

ไม่รู้ว่าบางคนจะรู้จัก Pell Equation กันไหมนะ แต่ก็ไม่ขยันพอที่จะอธิบายในตอนนี้เอาเป็นว่าใครสนใจก็ลองถามคนอื่นดูก็แล้วกัน หรือฝากข้อความถามไว้ก็ได้ ถ้ามีโอกาสจะตอบใ้ห้ล่ะกันนะ

โจทย์ของคนมีระดับถ้าทำไม่ได้ก็ไม่มีระดับหรอครับ ล้อเล่นนะครับ

[gon]

คุ้น ๆ ว่า
Pell eqaution นี่คือหัวข้อหนึ่งใน
Number Theory ใช่ใหมครับ

ใช่ครับ
Pell eqaution เป็นรูปแบบหนึ่งของสมการไดโอแฟนไทร์ ครับ