เรขาคณิตคิดไม่ออก

[artty60]

สี่เหลี่ยม$ABCD$ มี $A\hat BD = 30^{\circ} ,A\hat DB=70^{\circ} ,C\hat BD=20^{\circ}$ และ $C\hat DB=40^{\circ} $ แล้ว $C\hat AD $ มีขนาดกี่องศา

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

สี่เหลี่ยม$ABCD$ มี $A\hat BD = 30^{\circ} ,A\hat DB=70^{\circ} ,C\hat BD=20^{\circ}$ และ $C\hat DB=40^{\circ} $ แล้ว $C\hat AD $ มีขนาดกี่องศา

วิธีสวย ๆ ยังคิดไม่ออกครับ ขอใช้พลังตรีโกณจัดการก่อนก็แล้วกัน

สมมติให้มุม $CAD = x$ องศา

และเนื่องจาก $\frac{CD}{AD} = \frac{CD}{BD}\cdot \frac{BD}{AD}$

ดังนั้น $\frac{\sin x}{\sin(70^\circ-x)} = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 120^\circ}\cdot \frac{\sin 80^\circ}{\sin 30^\circ}$

และจากเอกลักษณ์ $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$ จะได้ว่า
$$\frac{\sin x}{\sin(70^\circ-x)} = \frac{1}{2\sin 40^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 40^\circ}$$
คูณไขว้แล้วใช้สูตรจัดรูป จะได้ $-2\sin(x-30^\circ) \sin 70^\circ = 0 \Rightarrow x = 30^\circ$ เท่านั้นที่เป็นไปได้

Note. $\sin x \sin (60^\circ - x) \sin (60^\circ + x) = \frac{\sin 3x}{4}$

[ยิงกระต่าย]

$ผมลองคิดได้ CAD = 20 $ อะครับ ผมผิดขออภัยด้วยครับ เปิดดูกระทู้ทำเล่นๆ

[artty60]

ขอบคุณตุณgonครับ คิดว่าคงตอบ30องศาล่ะครับ

แต่ยังหาวิธีคิดแบบต่อรูปไม่ได้

[artty60]

สี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ โดยมี $AB//CD$ มุม ถ้า $A\hat CB=90^{\circ} $ $AC=BC$ และ $AB=BD$ แล้ว $C\hat BD=?$


ผมใช้ตรีโกณหาออกมาได้เท่ากับ 15 องศา
ปล.ขอดูวิธีที่ไม่ใช้ตรีโกณในการหาหน่อยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

สี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ โดยมี $AB//CD$ มุม ถ้า $A\hat CB=90^{\circ} $ $AC=BC$ และ $AB=BD$ แล้ว $C\hat BD=?$


ผมใช้ตรีโกณหาออกมาได้เท่ากับ 15 องศา
ปล.ขอดูวิธีที่ไม่ใช้ตรีโกณในการหาหน่อยครับ

pmwc 2013 ข้อนี้ผมเขียนเฉลยไว้ 2 วิธีแล้วครับ

pmwc_2013_13_ind

[artty60]

ขอบคุณคุณGon มากครับ ช่วยให้รู้ว่ามีหลากหลายวิธี

อีกวิธี พท. $\triangle ABD=ABC$

$\frac{1}{2}AB\times BDsin(45-x)^{\circ} =\frac{1}{2}AC\times BC$

เนื่องจาก $AB=BD$ และ $AC=BC$ และ $AB=\sqrt{2}BC$

ดังนั้น $sin(45-x)=\frac{1}{2}=sin30^{\circ} $

$\therefore x=15^{\circ} $

แต่ว่าสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการนั้นเกิดจาก ด-ม-ด ใช่ไหมครับ $(AE=CD;A\hat EB=A\hat CB;BE=BC)$