พื้นที่สี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

สี่เหลี่ยม $ABCD$ มี$\angle DAB=60^\circ ,\angle BCD=120^\circ,\angle ADC=ABC=90^\circ$
ให้$AC,CD$ ตัดกันที่$M$ โดย$MB,MD=1,2$ ตามลำดับ
จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม$ABCD$

[Amankris]

หารัศมีครับ

[artty60]

$r=\sqrt{3}$

[lek2554]

หารัศมีได้แล้ว เวลาจะหาพื้นที่ผมทำแบบนี้

1.หา $CM,MO$ จาก $BM\times MD=CM\times MA$

2.หาพื้นที่สามเหลี่ยม $MBO,MDO$ จาก $\frac{1}{2} ab \sin\theta $

3.หาพื้นที่สามเหลี่ยม $CBM,OBA,CDM,ODA$ โดยใช้อัตราส่วนพื้นที่

มีวิธีอื่นที่ง่ายกว่านี้ไหมครับ

[Puriwatt]

ผมหาได้ว่ามุม $\angle DOC$ เป็นมุมฉาก เพราะว่า $\dfrac{DO}{DM} = \dfrac {\sqrt{3}}{2} --> (= cos 30)$

ดังนั้น ความสูงบนฐาน AC ของสามเหลี่ยม ADC กับ ABC = 2 : 1 = R : $\frac{R}{2}$

และหาพท. สี่เหลี่ยมจาก $\dfrac {1}{2}\times (AC)\times (ผลบวกเส้นกิ่ง)$ = $\dfrac {1}{2} (2R)\times (R+\dfrac{R}{2}) = \dfrac {3}{2}R^2$ = 4.5 ตารางหน่วย

** มาแล้วครับ รูปที่จะแสดง ไม่ทราบว่าจะถูกใจคุณ Lek2554 หรือเปล่า ? **

[lek2554]

$\frac{DO}{DM}= \frac{\sqrt{3} }{2} $

สรุปไม่ได้ว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากนี่ครับ

ตอนแรกผมก็หลงกลคิดแบบคุณ Puriwatt ครับ

ตะเกียบ 2 อัน ยาวไม่เท่ากัน เอาปลายชนกัน กางออกไปเกิดสามเหลี่ยมได้เป็นอนันต์รูปครับ

ป.ล. ตอนนี้เขียนจากโทรศัพท์ลำบากจริงครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$\frac{DO}{DM}= \frac{\sqrt{3} }{2} $

สรุปไม่ได้ว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากนี่ครับ

ตอนแรกผมก็หลงกลคิดแบบคุณ Puriwatt ครับ

ตะเกียบ 2 อัน ยาวไม่เท่ากัน เอาปลายชนกัน กางออกไปเกิดสามเหลี่ยมได้เป็นอนันต์รูปครับ

ป.ล. ตอนนี้เขียนจากโทรศัพท์ลำบากจริงครับ

แต่ในตอนที่หารัศมีเราจะรู้แล้วว่า $\angle ODM$ = 30 องศา เลยทำให้กางไปไหนไม่ได้ครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

แต่ในตอนที่หารัศมีเราจะรู้แล้วว่า $\angle ODM$ = 30 องศา เลยทำให้กางไปไหนไม่ได้ครับ

จริงด้วยครับ ผมหลงกลตัวเอง .............ขอบคุณ คุณ Puriwatt ครับ

ตอนคิดสมองไปมัวคิดว่าโจทย์ตั้งใจหลอกให้ตัวเลขลงตัว ถ้ากำหนดแบบอื่นคงคิดแบบนี้ไม่ได้ เช่นแบบนี้ครับ

[Puriwatt]

พอจะหาได้ ด้วยวิธีคล้ายกัน คือ ให้มุม OMB = x
ME = (4-3)/2 = $\frac{1}{2}$ , OE = $\frac {7\sqrt(3)}{2}$
หา MO = $\sqrt {ME^2+ OE^2} = \frac {\sqrt {1+49(3)}}{2} = \sqrt {37}$
Sin x = $\frac{OE}{MO} = \frac {7\sqrt {3}}{2\sqrt {37}}$
พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD = $\frac{1}{2} (AC)(BD) sin x = \frac{1}{2} (14)(7) \frac {7\sqrt {3}}{2\sqrt {37}} =... $
เลขไม่สวยเลยไม่คิดต่อ แต่แสดงว่าวิธีนี้ประยุกต่อได้ครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

พอจะหาได้ ด้วยวิธีคล้ายกัน คือ ให้มุม OMB = x
ME = (4-3)/2 = $\frac{1}{2}$ , OE = $\frac {7\sqrt(3)}{2}$
หา MO = $\sqrt {ME^2+ OE^2} = \frac {\sqrt {1+49(3)}}{2} = \sqrt {37}$
Sin x = $\frac{OE}{MO} = \frac {7\sqrt {3}}{2\sqrt {37}}$
พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD = $\frac{1}{2} (AC)(BD) sin x = \frac{1}{2} (14)(7) \frac {7\sqrt {3}}{2\sqrt {37}} =... $
เลขไม่สวยเลยไม่คิดต่อ แต่แสดงว่าวิธีนี้ประยุกต่อได้ครับ

ต้องขอบคุณอีกครั้งครับ ข้าน้อยขอคารวะ 3 จอก

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

Attachment 14425

เหตุผลจริงๆคือ $OE^2=DE\cdot EM$ครับ เพราะจะทำให้$\angle MOE=30^\circ $
$\rightarrow \angle DOM=90^\circ$