พิสูจน์เรขาคณิต สอวน. ค่าย1

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. วงกลม 2 วงตัดกันที่ P, Q มีเส้นสัมผัส 2 เส้น มาสัมผัสวงกลมทั้ง 2 ที่ P และไปพบกับเส้นรอบวงของ
วงกลมทั้ง 2 ที่ M, N ลาก MN ตัดเส้นรอบวงของวงกลมทั้ง 2 ที่จุด X, Y จงพิสูจน์ว่า PX = PY

2. PM, PN เป็นคอร์ด 2 คอร์ด ถ้า A, B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งเล็ก PM, PN แล้วลาก AB ตัด PM
ที่จุด C ตัด PN ที่ D จงพิสูจน์ว่า PC = PD

3. O เป็นจุดออร์ธอเซนเตอร์ (Orthocentre) ของรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งบรรจุอยู่ในวงกลม ถ้าลากเส้น
จาก A ให้ผ่านจุดศูนย์กลางไปพบเส้นรอบวงที่ K จงพิสูจน์ว่า OC = BK

4. วงกลม 2 วงตัดกัน มีเส้นตรงลากผ่านจุดตัดไปจดเส้นรอบวงของวงกลมทั้งสอง ถ้าเส้นตรงคู่นี้ขนานกัน
เส้นปิดหัวท้ายข้างเดียวกันของเส้นขนานคู่นี้ย่อมเท่ากัน
5. เส้นที่ปิดหัวท้ายของคอร์ดที่ขนานกันในวงกลม จะปิดข้างเดียวกันหรือปิดคนละข้างก็ตาม ย่อมเท่ากันเสมอ

6. PM เป็นคอร์ดที่ลากไปจากจุดสัมผัส P เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง PM ไปตั้งฉาก
กับคอร์ด PM กับไปตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงซึ่งสัมผัสวงกลมที่ P ย่อมเท่ากัน

7.ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี ABC, ADC เป็นมุมฉาก และ AB = AD ตัด AB, AC ที่จุด P, Q และ
ทำให้ AP + AQ = AB + AD จงพิสูจน์ว่า PC = QC

8.ABC เป็นสามเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในวงกลม AD, BE, CF ตั้งฉากกับ BC, CA, AB ที่จุด D, E, F ตามลำดับ
และตัดกันที่ O ถ้าต่อ OD ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด M จงพิสูจน์ว่า OB = BM

9.วงกลม 2 วงเท่ากัน ตัดกันที่ A, B ลาก PQ ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ไปพบเส้นรอบวงที่ M, N
และที่ P, Q จงพิสูจน์ว่า MB = NB

10.วงกลมสองวงสัมผัสกันอย่างภายนอกที่ A มี PQ และ XY เป็นเส้นสัมผัสร่วมตรง สัมผัสวงกลมที่ P, Q
และ X, Y ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งสัมผัสวงกลมที่ A ไปพบ PQ ที่ M และ XY ที่ N จงพิสูจน์ว่า PM = YN

11. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม POM = 108 องศา, MON = 60 องศา และ NOR = 36 องศา
จงพิสูจน์ว่า PM = MN + NR

12.จงพิสูจน์ว่าผลบวกของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใดจุดหนึ่งบนฐาน ไปยังด้านที่เท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
เท่ากับเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุมที่ฐานไปตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

13. ผลบวกของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดภายในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ไปตั้งฉากกับด้านทั้งสาม
ของรูปสามเหลี่ยม ย่อมเท่ากับเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุมยอดมุมใดมุมหนึ่ง ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

14.ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลาก PQ ผ่าน D ไปตัด AB, BC ที่ต่อออกไปที่ P, Q
จงพิสูจน์ว่า 1/AB = 1/PB + 1/BQ

15. ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ในวงกลม M เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บนส่วนโค้ง BC
จงพิสูจน์ว่า MA = MB + MC

[artty60]

ข้อ2
จากรูปไล่มุมไปก็จะได้ $P\hat CD=P\hat DC\rightarrow PC=PD$

ข้อ15

Hint:ใช้Sine's Law กับสามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมมุมตรงข้ามรวมกันเท่ากับ2มุมฉาก

$\quad \quad A\hat BM=60+x$ และ $A\hat CM=180-A\hat BM$

[Euler-Fermat]

15 ใช้ Ptolemy's Theorem จะง่ายกว่า นะ ครับ

[artty60]

เออ จริงแฮะ ถ้าจำได้ 2บรรทัดจบเลย

[artty60]

ข้อ11. ใช้สามเหลี่ยมคล้ายและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

[artty60]

ข้อ15. $AM\cdot BC=(AC\cdot BM)+(AB\cdot MC)$ จาก Ptolemy's Theorem

$\therefore AM=BM+CM$ เพราะ BC , AC และ AB เป็นด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

[noitulos]

13. จุดใดๆนั้นเป็นจุด P
[ABC]=[ABP]+[BCP]+[ACP]

10. PQ ไปตัด XY ที่ S
PM=AM=AN=NY
AM=AN พิจารณาจาก
ASM เท่ากันทุกประการกับ ASN