Geometry Slovenia

[BLACK-Dragon]

ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ AC ตัดกับ BD ที่ F และ AD และ BC ตัดกันที่ E (C อยู่ระหว่าง B,E)

ลาก EF ตัดกับ CD ที่ M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของ CD จงแสดงว่า ABMN อยู่บนวงกลมเดียวกัน

[gools]

ให้ $AB$ และ $CD$ ตัดกันที่ $G$, tangent ของ $A,B$ ตัดกันที่จุด $H$, tangent ของ $C,D$ ตัดกันที่จุด $I$
ใช้ Pascal's theorem บนจุด $A,A,D,B,B,C$ (ให้เส้นตรงผ่านจุด $A,A$ เป็น tangent ที่ $A$) จะได้ว่า $E,I,F,H$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
เนื่องจาก polar ของ $G$ ผ่าน pole ของ $GA$ และ $GD$ ซึ่งก็คือ $H$ และ $I$ ตามลำดับ ดังนั้นเส้นตรง $EF$ เป็น polar ของ $G$
$EF\cap GD =M$ เป็น harmonic conjugate ของ $G$ ขึ้นตาม $C,D$ ดังนั้น
\[
\begin{array}{rcl}
GD \cdot CM & = & GC \cdot DM \\
GD \cdot (GM-GC) & = & GC \cdot (GD-GM) \\
GD \cdot GM + GC \cdot GM & = & 2GC \cdot GD \\
GM\cdot (GC+GC+2CN) & = & 2GC \cdot GD \\
GM\cdot GN & = & GC \cdot GD =GB \cdot GA \\
\end{array}
\]

ดังนั้น $ABMN$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน