ระบบสมการ

[BLACK-Dragon]

1.ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนนับโดย $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2n$ โดย $a_n \not= n+1$
จงแสดงว่าสามารถ แบ่ง $a_1+a_2+...+a_n$ ออกเป็น สองกลุ่มซึ่งแต่ละกลุ่มมีผลบวกเท่ากัน เมื่อ
i) n เป็นจำนวนคู่
ii) ถ้า n เป็นจำนวนคี่และ $a_n \not= 2$ ด้วย

[Thgx0312555]

โจทย์ไม่ครบหรือเปล่าครับ
น่าจะมีเงื่อนไข $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$ ด้วย ??

[Thgx0312555]

แบ่งกรณี
ถ้า $a_n=2, 2 \ | \ n$
จะได้ไม่ยากว่า $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 2$ เลือก $2$ มา $\dfrac{n}{2}$ ตัว

ถ้า $a_n>2$ ให้ $x_i$ เป็นจำนวนของ $i$
จาก $a_n \not= n+1$ จะได้ $a_n \le n$
$x_1 + 2x_2 +3x_3+\cdots + nx_n = 2n$

$x_1 = x_3 + 2x_4 \cdots + (n-2)x_n$

เลือก ตัวเลขที่ไม่ใช่ $1$ ทั้งหมด ผลรวมต้องมากกว่า $n+1$

พิจารณา operation เอาตัวเลขที่มากที่สุด ให้เป็น $m$ เพิ่มตัวเลข $1$ $m-2$ ตัว (2 ไม่ต้องเพิ่ม)
ผลรวม จะลดไปทีละ $2$

จาก $x_1 = x_3 + 2x_4 \cdots + (n-2)x_n$

ถ้าทำ operation จนหมดจะเหลือแต่ตัวเลข $1$ ซึ่งได้ผลรวมน้อยกว่า $n-1$

ดังนั้นสามารถ ทำ operation นี้จนเหลือ ผลรวมน้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $n$
ถ้าได้ $n$ เอาตัวเลขชุดนั้นได้เลย

ถ้าได้ $n+1$ จาก $a_n > 2$ และผลรวมมากกว่า $n+1$
เราต้องทำ operation นี้กับ $a_n > 2$ และต้องนำ $1$ เข้าอย่างน้อย $1$ ตัว

ดังนั้นเอา $1$ ออกจาก ตัวที่เลือก ได้ผลรวม $n$ ตามต้องการ