มีโจทย์2ข้อค่ะ รบกวนเฉลยทีนะคะ

[khlongez]

1. หาจำนวนเต็มบวก $n$ และจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^p+3^p$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

2. พิสูจน์ว่า $
\left\lfloor\, \sqrt{n} \right\rfloor \equiv \left\lfloor\,\frac{n}{1} \right\rfloor+\left\lfloor\,\frac{n}{2} \right\rfloor+...+\left\lfloor\,\frac{n}{n} \right\rfloor \pmod{2} $ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
เมื่อ $\left\lfloor\, x \right\rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$

[Thgx0312555]

ข้อสอง ลอง induction ดู น่าจะออกครับ

$Sol^n$

(เขียนย่อๆครับ)
$n=1$ เห็นได้ชัด

สมมติ $\left\lfloor\,\sqrt{k}\right\rfloor \equiv \left\lfloor\,\dfrac{k}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\,\dfrac{k}{2}\right\rfloor +\cdots+\left\lfloor\,\dfrac{k}{k}\right\rfloor \pmod 2$

พิจารณา $\left\lfloor\,\dfrac{k+1}{r}\right\rfloor-\left\lfloor\,\dfrac{k}{r}\right\rfloor= \cases{1 & , r \ | \ (k+1) \cr 0 & , r \nmid (k+1)} $

$\displaystyle \sum_{r=1}^{k+1} (\left\lfloor\,\dfrac{k+1}{r}\right\rfloor-\left\lfloor\,\dfrac{k}{r}\right\rfloor) = \tau(k+1)$
บวกกับ ประโยคแรก

$\left\lfloor\,\sqrt{k}\right\rfloor +\tau(k+1) \equiv \left\lfloor\,\dfrac{k+1}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\,\dfrac{k+1}{2}\right\rfloor +\cdots+\left\lfloor\,\dfrac{k+1}{k+1}\right\rfloor \pmod 2$

เหลือแค่ต้องพิสูจน์ว่า $\left\lfloor\,\sqrt{k+1}\right\rfloor \equiv \left\lfloor\,\sqrt{k}\right\rfloor +\tau(k+1) \pmod 2$

ซึ่งเป็นจริงจาก
$\left\lfloor\,\sqrt{k+1}\right\rfloor-\left\lfloor\,\sqrt{k}\right\rfloor= \cases{1 & ,k+1 \ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ \cr 0 & , k+1 \ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์} $

$\tau (k+1) \equiv \cases{1 \pmod 2 & ,k+1 \ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ \cr 0 \pmod 2 & , k+1 \ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์}$

[sawada]

ข้อ1)ที่ผมลองแทนค่าผมเล่นได้ว่า n=4ซึ้งเป็นจำนวนเต็มบวก p=2 เป็นจำนวนเฉพาะ ตามเงื่อนไข ได้ว่า
จากโจทย์แยกได้ว่า $ n^p+3^p =(..n\pm ...)^2$

แทนค่าn=4,p=2 จะได้ $4^2+3^2 = (4+1)^2$
16+9=25