รบกวนช่วยพิสูจน์โจทย์การหารลงตัวด้วยวิธีอุปนัยหน่อยครับ

[chirayu_p]

จงพิสูจน์ว่า $11^{n+2} + 12^{2n+1}$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\geqslant 0$ หารด้วย 133 ลงตัว
proof by induction

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

จงพิสูจน์ว่า $11^{n+2} + 12^{2n+1}$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\geqslant 0$ หารด้วย 133 ลงตัว

[polsk133]

ย่อๆนะครับ

$p(0)$ จริง

สมมติ $p(k)$จริง จะพิสูจน์ว่า $p(k+1)$จริง

จาก $11^{k+2} + 12^{2k+1} \equiv 0 (mod 133)$

ให้$ 11^{k+2} \equiv m (mod 133)$

$12^{2k+1} \equiv n (mod 133) $

โดยที่ $m+n \equiv 0 (mod 133)$

จาก $11^{(k+1)+2} = 11 \times 11^{k+2}$

$12^{2(k+1) +1} = 144 \times 12^{2k+1}$

ดังนั้น $11^{(k+1)+2} + 12^{2(k+1) +1} \equiv 11m+144m \equiv 133m \equiv 0 (mod 133)$

จึงสรุปได้ว่า ............

[Thgx0312555]

ถ้าไม่ใช้ congruence
P(0) เป็นจริง

ถ้า P(k) เป็นจริง

$$133|(11^{k+2}+12^{2k+1})$$
$$133|11[(11^{k+2})+(12^{2k+1})]$$
$$133|(11(11^{k+2})+11(12^{2k+1}))$$
$$133|(11(11^{k+2})+11(12^{2k+1})+133(12^{2k+1}))$$
$$133|(11(11^{k+2})+144(12^{2k+1}))$$
$$133|(11^{k+1+2}+12^{2(k+1)+1})$$

P(k+1) เป็นจริง
โดย Mathematic Induction; P(n) เป็นจริง

[perterlly zoughq]

ดังนั้น 11(k+1)+2+122(k+1)+1≡11m+144m≡133m≡0(mod133)
แล้ว133m มาจากไหนเอ่ย

[phoneee]

ตกลงทำยังไงครับคุณ polsk133
อยากรู้เหมือนกัน

[polsk133]

m คอนกรูเอนซ์ -n (mod 133) ใช้ตัวนี้ครับ

มันต้องได้ 11m-144m ผมพิมพ์ผิด