โจทย์เกี่ยวกับทฤษฏี Pythagoras

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ให้ $a,b_1,b_2,c_1,c_2$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดย $(b_1,c_1)=(b_2,c_2)=1$ ซึ่ง

$a^2+b_1^2=c_1^2$

$a^2+b_2^2=c_2^2$

แล้ว $b_1=b_2, c_1=c_2$ หรือไม่ ???

ปล. ช่วย hint หน่อยครับ ยังทำไม่ได้เลยครับ

[Amankris]

ไม่จำเป็นเลยครับ

[Aquila]

ลองใช้เชิงซ้อนดูมั้ย

ให้ $z_{1}=a+bi$ และ $z_{2}=c+di$

จาก $|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=|\overline{z_{1}}|| z_{2}|=|\overline{z_{1}}\cdot z_{2}|$

จะได้ $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

[Thgx0312555]

อันนี้เรียกว่า Lagrange's identity (สำหรับ 2 ตัวแปร) ครับ พิสูจน์กระจายเอาก็ได้
แต่ไม่น่าเกี่ยว
จากคุณแฟร์
$21^2=29^2-20^2=221^2-220^2$

อยากดูโจทย์เต็มด้วยครับ

[Aquila]

ก็จาก
$(ac-bd)^2-(ad-bc)^2=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
แล้วหา $a,b,c,d$ ที่ทำให้ปริมาณนี้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ก็น่าจะใช้เป็นตัวอย่างค้านได้

ไม่ใช่เหรอครับ

[Thgx0312555]

จริงด้วยครับ ใช้อันนี้ยกตัวอย่างค้านก็ได้