ช่วยพิสูจน์เรขาข้อนี้หน่อยครับ

[Yo WMU]

กำหนดให้ สามเหลี่ยม ABC มีวงกลม O เป็นวงกลมแนบใน และ I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม O ให้วงกลม O สัมผัส BC ที่จุด D, DI ตัดวงกลม O ที่จุด G, AG ตัด BC ที่จุด H จงพิสูจน์ว่า BD = HC

รบกวนช่วยแสดงวิธีพิสูจน์ครับ ขอบคุณครับ

[SixGoldsForThailand]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yo WMU

กำหนดให้ สามเหลี่ยม ABC มีวงกลม O เป็นวงกลมแนบใน และ I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม O ให้วงกลม O สัมผัส BC ที่จุด D, DI ตัดวงกลม O ที่จุด G, AG ตัด BC ที่จุด H จงพิสูจน์ว่า BD = HC

รบกวนช่วยแสดงวิธีพิสูจน์ครับ ขอบคุณครับ

สวัสดีครับ คุณYo WMU

โจทย์ข้อนี้คลาสสิกมากครับ เห็นหลายรอบ แต่ถ้ามองไม่ออกก็ยากทีเดียว

พิจารณาวงกลมแนบนอกสามเหลี่ยม $\triangle ABC$ ที่อยู่ตรงข้ามจุดยอด $A$ และสัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $H'$ ให้สังเกตว่า $BD=H'C$ ครับ เพราะทั้งคู่เท่ากับ $\frac{a-b+c}{2}$ เมื่อ $a,b,c$ แทนความยาวด้านทั้งสาม ดังนั้นเราจะสำเร็จถ้าหากแสดงได้ว่า $H$ และ $H'$ เป็นจุดเดียวกัน

สังเกตว่า ถ้าเรามองเส้นตรง $BC$ เป็นแกน $X$ (โดย $A,B,C$ เรียงทวนเข็มนาฬิกา) จะได้ว่า $H'$ เป็นจุดที่สูงที่สุดบนวงกลมแนบนอก ในขณะที่ $G$ เป็นจุดที่สูงที่สุดบนวงกลมแนบใน ดังนั้นมีโฮโมเตตี้ (การยืดขยาย)ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด $A$ ที่ขยายวงกลมแนบในเป็นวงกลมแนบนอก และส่งจุด $G$ ไปยังจุด $H'$ ซึ่งนั่นทำให้ $A,G,H'$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ฉะนั้น $H=H'$ ตามต้องการ

ถ้าหากผมอธิบายไม่ชัดเจนตรงไหน รบกวนถามมาได้เลยนะครับ

สวัสดีครับ